Matematica Financeira

Amortização de Empréstimos

O assunto de amortização de empréstimos é um dos mais importantes para a maioria das pessoas porque está relacionado ao custo de bens como imóveis, carros, outros bens e até de dívidas.

No exemplo da compra de um imóvel, sabemos que nem sempre uma família tem o valor total para a aquisição e o financiamento pode ser a solução.

Para poder decidir pelo melhor negócio entre as tantas opções de financiamento pelos bancos ou pelas construtoras, é necessário analisar os fundamentos dos principais sistemas de amortização existentes. O Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Francês (Price) são os mais utilizados e embora exista também o Sistema de amortização convencional ou livre este último não é praticado atualmente para o financiamento de imóveis. E entender conceitos como Valor Presente, valor Futuro, sequência de capitais e taxa a juros compostos são importantes para a compreensão do assunto.

Existem dois conceitos que devemos saber: O primeiro é que toda parcela (PMT) é formada por uma parte referente à amortização e outra parte referente aos juros. De maneira simples podemos dizer que a parcela (PMT) é igual à soma de uma parcela de amortização ( A ) mais uma parcela de juros ( J ).

Fórmula: PMTn = An + Jn

n representa a parcela do período.

Segundo conceito é que a parte da parcela referente aos juros nela auferidos é calculado com base no período anterior, em função da taxa de juros contratada.

Fórmula: Jn = SD n-1 x i

Onde Jn representa os juros pagos em uma referida parcela no período n . Estes são calculados sobre o saldo devedor do período anterior (SD n-1) e i é a taxa cobrada no financiamento. Resumindo, juro incide sobre saldo devedor do período anterior.

No Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome diz, o valor da amortização é constante, ou seja, o mesmo para todos os períodos. Ou seja, para o valor de amortização por parcelas, divide-se o saldo devedor inicial pelo número de parcelas no financiamento.

Fórmula: A = SD 0 / n

Onde A é o valor da parcela de amortização; SD 0 é o saldo devedor inicial (valor financiado); e n , o número de parcelas (períodos).

Para sabermos o cálculo do montante pago no sistema SAC, aplicaremos a fórmula da Progressão Aritmética finita, que é dada por:

Fórmula : Sn = [( a1 + an )x n] /2

Onde Sn é a soma de n parcelas; a1 é a primeira parcela; an é a última parcela. Sn será chamado de Mn que é o montante pago até o período n .

O Sistema de amortização francês (Price) foi desenvolvido no século XVI e seus créditos foram atribuídos a Richard Price e uma das virtudes deste sistema é que o valor das prestações é fixo.

Esse sistema é muito utilizado nos financiamentos em geral e é o mais claro para todas as pessoas. Seus exemplos de aplicabilidade são vastos, podendo ser destacados os seguintes: financiamento de carros, eletrodomésticos, imóveis, computadores ou seja, crediários com parcelas fixas em geral.

O Sistema Price está fundamentado na sequência uniforme de pagamentos, pois suas parcelas têm valor constante. Para o cálculo das parcelas, é utilizada a fórmula a seguir.

Fórmula: PMT = Valor financiado x { [ i ( 1 + i ) elevado a n] / [( 1 + 1 ) elevado a n] – 1}

Onde i é a taxa de juros ; e n o período do financiamento.

Para sabermos o montante pago no sistema Price basta multiplicar o valor das parcelas pelo número de pagamentos:

Fórmula: Mn = PMT x n

Onde Mn é o montante pago até o período n ; PMT é o valor das parcelas; e n é o número de parcelas.

Qual o melhor sistema de amortização? Isto será mais fácil perceber pelos exemplos da Etapa 4 Passo 2 desta ATPS. No desafio proposto no caso A iremos amortizar as parcelas pelo SAC e no caso B o sistema utilizado será o PRICE. Em ambos a quantia emprestada foi de R$30.000,00 para liquidar em 12 parcelas à taxa de juros de 2,8% ao mês. Com valores iguais diferindo apenas o sistema de amortização teremos na comparação a resposta de qual deles é o melhor.

Caso A (SAC)

Planilha:

Planilha de Demonstrativos de Juros e Amortizações

PV=R$ 30.000,00 i=2,8% n=12

n Saldo Início Juros Amortização PMT Saldo Final

1 R$ 30.000,00 R$ 840,00 R$ 2.500,00 R$ 3.340,00 R$ 27.500,00

2 R$ 27.500,00 R$ 770,00 R$ 2.500,00 R$ 3.270,00 R$ 25.000,00

3 R$ 25.000,00 R$ 700,00 R$ 2.500,00 R$ 3.200,00 R$ 22.500,00

4 R$ 22.500,00 R$ 630,00 R$ 2.500,00 R$ 3.130,00 R$ 20.000,00

5 R$ 20.000,00 R$ 560,00 R$ 2.500,00 R$ 3.060,00 R$ 17.500,00

6 R$ 17.500,00 R$ 490,00 R$ 2.500,00 R$ 2.990,00 R$ 15.000,00

7 R$ 15.000,00 R$ 420,00 R$ 2.500,00 R$ 2.920,00 R$ 12.500,00

8 R$ 12.500,00 R$ 350,00 R$ 2.500,00 R$ 2.850,00 R$ 10.000,00

9 R$ 10.000,00 R$ 280,00 R$ 2.500,00 R$ 2.780,00 R$ 7.500,00

10 R$ 7.500,00 R$ 210,00 R$ 2.500,00 R$ 2.710,00 R$ 5.000,00

11 R$ 5.000,00 R$ 140,00 R$ 2.500,00 R$ 2.640,00 R$ 2.500,00

12 R$ 2.500,00 R$ 70,00 R$ 2.500,00 R$ 2.570,00 R$ -

R$ 5460,00 R$ 35.460,00

Ao resolver o desafio do passo 3 apresentados no Caso A , associamos o número 3 pois o valor da 10ª parcela seria R$ 2710,00 e não R$ 2780,00 e o saldo devedor atualizado seria de R$ 5000,00 . Portanto tal afirmação está errada. No. 3.

Caso B (Price)

Planilha de Demonstrativos de Juros e Amortizações

PV=R$ 30.000,00 i=2,8% n=12

n Saldo Início Juros Amortização PMT Saldo Final

1 R$ 30.000,00 R$ 840,00 R$ 2.140,00 R$ 2.978,00 R$ 27.860,00

2 R$ 27.860,00 R$ 780,08 R$ 2.197,92 R$ 2.978,00 R$ 25.662,08

3 R$ 25.662,08 R$ 718,54 R$ 2.259,46 R$ 2.978,00 R$ 23.402,62

4 R$ 23.402,62 R$ 655,27 R$ 2.322,73 R$ 2.978,00 R$ 21.079,89

5 R$ 21.079,89 R$ 590,24 R$ 2.387,76 R$ 2.978,00 R$ 18.692,13

6 R$ 18.692,13 R$ 523,38 R$ 2.454,62 R$ 2.978,00 R$ 16.237,51

7 R$ 16.237,51 R$ 454,65 R$ 2.523,35 R$ 2.978,00 R$ 13.714,16

8 R$ 13.714,16 R$ 384,00 R$ 2.594,00 R$ 2.978,00 R$ 11.120,16

9 R$ 11.120,16 R$ 311,36 R$ 2.666,64 R$ 2.978,00 R$ 8.453,52

10 R$ 8.453,52 R$ 236,70 R$ 2.741,30 R$ 2.978,00 R$ 5.712,22

11 R$ 5.712,22 R$ 159,94 R$ 2.818,06 R$ 2.978,00 R$ 2.894,16

12 R$ 2.894,16 R$ 81,04 R$ 2.896,96 R$ 2.978,00 -R$ 2,80

Aprox.R$5736 R$ 35.736,00

Ao resolver o desafio do passo 3 apresentados no Caso B , associamos o número 1 pois o valor da 7ª parcela seria R$ 2523,35 e não R$ 2780,00 e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 13714,16 e o valor referente aos juros para o oitavo (próximo) período seria de R$ 384,00 e não os R$ 718,60 . Portanto tal afirmação está errada. No. 1.

Conclusão: O Sistema Price é mais fácil para aprovação por parte das financiadoras pois exige uma renda familiar menor pelo motivo das primeiras prestações serem menores. Os bancos exigem uma renda familiar bruta de quatro vezes o valor da prestação (deixam comprometer até 25% da renda familiar bruta com a prestação do imóvel) mas fazendo as contas no Sistema SAC é o que o consumidor pagará menos juros, como comprova o somatório na última linha de nossas planilhas.

O tempo de financiamento é o melhor amigo do agente financeiro e o pior inimigo do consumidor. Tratando-se de financiamento, quanto maior o período de financiamento, mais juros se pagam. Prefira períodos curtos.