Matematica Financeira

MTM 5150 – Matemática Financeira – Resolução da Lista A

1- Certo capital, acrescido juros dos juros resultantes de sua aplicação durante 8 meses, eleva-se a R$ 23.100,00. O mesmo capital, acrescido dos juros resultantes de 13 meses de aplicação, a mesma taxa, eleva-se a R$ 23.475,00. Calcular o capital e a taxa anual.

Resolução: Consideremos P o capital, sabendo que P=P1=P2, analizando as informações dadas temos:

P1= ? , n1= 8 meses, FV1= 23.100,00 e que P2=?, n2= 13 meses, FV2=23.475,00 e queremos saber i, que é a mesma para ambos os casos.

Aplicando a fómula para cada situação temos;

P1= FV1 e P2= FV2

(1+i n1) (1+i n2)

Substituindo:

P1= 23.100 e P2= 23.475

(1+i 8) (1+i 13)

Sabendo que P1=P2, temos:

23.100 = 23.475

(1+i 8) (1+i 13)

23.100(1+i 13) = 23.475(1+i 8)

23.100 + 300.300i = 23.475 + 187.800i

300.300i – 187.800i = 23.475 – 23.100

112.500i = 375

i = 375

112.500

i = 0.0033a.m. Ou 0.033% a.m.

A taxa anual: 0.0033 12= 0.04 ou seja 4% a.a.

Agora já conhecida a taxa, basta substituir em uma das equações para se obter o capital:

P1= 23.100

(1+i 8)

P1= 23.100

(1+0.0033 8)

P1= 23.100

1.026

P1= 22.500,00

Resposta: A taxa é de 4% a.a. e o capital é R$ 22.500,00.

2- Um capital ficou depositado durante 2 anos, á taxa de 4% a.a.. Findo este período, o montante foi reaplicado a 6%a.a. durante 18 meses. Determinar o capital inicialmente aplicado, sabendo que o montante final foi de R$ 17.658,00.

Resolução:

Determinaremos o capital inicialmente aplicado como P1, n1= 2 anos, i1= 4%a.a., FV1= ?

E que P2=?, n2= 18 meses, i2= 6%a.a e FV2= 17.658,00.

Pelas informações dadas no problema podemos concluir que FV1 = P2, temos:

I: FV1= P1(1+i1 n1) e II: FV2= P2(1+i2 n2)

Substituindo os dados em II:

FV2= P2(1+i2 n2)

17.658= P2 1+ 0.06 18

12

17.658= P2 (1+ 0.06 1.5)

17.658= P2 1.09

17.658 = P2 =>P2= 16.200

1.09

Sabendo que FV1= P2, substituimos em I:

FV1=P2= P1(1+i1 n1)

16.200=P1(1+0.04 2)

16.200= P11.08

16.200 = P1 => P1= 15.000

1.08

Resposta: O capital inicialmente aplicado foi de R$ 15.000,00.

3- Três capitais são aplicados a juros simples. O primeiro a 25% ao ano, durante 4 anos; o segundo a 24% ao ano, durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% ao ano, durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam R$ 27.595,80 de juros. Sabendo-se que o segundo capital é o dobro do primeiro, e que o terceiro é o triplo do segundo, qual o valor do terceiro capital?

Resolução: Sabendo que P1=X, i1=25%a.a. , n1= 4anos; P2=2P1, i2=24%a.a., n2=3 anos e 6 meses e que P3=3(P2), i3=20%a.a. E n3=2 anos e 4 meses. E sabemos que os juros somados juntos são de R$ 27.595,80, usaremos a seguinte denotação: J1+J2+J3= 27.595,80 = Jtotal

Temos ainda: P1= X, P2= 2X e P3=3(2X) => P3= 6X

Sabendo: J= P i n

Partindo dessa fómula temos:

Jtotal= (P1 i1 n1) + (P2 i2 n2) + (P3 i3 n3)

27.595,80 = (X 0.25 4) + 2X 0.24 3+ 6 + 6X 0.20 2+ 4

12 12

27.595,80 = X + (2X 0.24 3.5) + (6X 0.20 2.33)

27.935,80 = X + (2X 0.84) + (6X 0.466)

27.595,80 = X + 1.68X + 2.8X

27.595,80 = X(1+1.68+2.8)

27.595,80 = X => X= 27.595,80

(1+1.68+2.8) 5.48

X= 5.035,73

Queremos determinar o valor do terceiro capital, então basta substituir X, temos:

P3= 6X

P3 = 6 5.035,73

P3 = 30.214,38

Resposta: O terceiro capital tem o valor de R$ 30.214,38.

4- Dois capitais, um de R$ 200.000,00 e outro de R$ 222.857,00 foram aplicados a uma mesma data, sendo o 1° a 168% ao ano e o 2° a 120% ao ano. Considerando o regime de capitalização simples, determine o tempo necessário para que os montantes se igualem.

Resolução: Temos dois capitais P1= 200.000,00 com taxa i1=168% e P2=222.857,00 com taxa i2=120%, devemos determinar n para que FV1 seja igual a FV2 ( FV1 =FV2 )

Aplicando