Medidas De Erros

Aula prática 01: MEDIDAS E ERROS

1 - INTRODUÇÃO

Uma medida experimental é satisfatoriamente representada quando, a esta medida é atribuído um erro, ao qual a medida está sujeita.

Quando efetuamos uma medida ou várias medidas (nas mesmas condições, de uma mesma grandeza), o valor dessa grandeza deve ser expresso pela relação:

Para os casos onde é realizada uma única medida x é a própria medida e para várias medidas é a média dos valores medidos. O  é chamado de desvio para várias medidas, para uma única medida é chamado de incerteza, e tem o valor da metade da menor medida do instrumento.

2 - MEDIDAS

As medidas podem ser classificadas em dois tipos, diretas e indiretas suas definições são especificadas a seguir.

Medidas diretas → São aquelas obtidas diretamente do instrumento de medida. Como exemplos podem ser citados: comprimento e tempo, sendo realizadas diretamente de trenas e cronômetros, respectivamente.

Medidas indiretas → São aquelas obtidas a partir das medidas diretas, com o auxílio de equações. Por exemplo: a área de uma superfície, volume de um corpo ou a vazão de um rio ou canal.

3 - ERRO EXPERIMENTAL

Conceitualmente, o erro experimental é a diferença entre o real valor de uma grandeza física (peso, área, velocidade...) e o respectivo valor dessa grandeza obtido através de medições experimentais.

Mesmo que o experimento seja realizado com o máximo de cuidado, há sempre fontes de erro que podem afetá-la. Os erros experimentais podem ser de dois tipos: erros sistemáticos e erros aleatórios.

3.1 Erros Sistemáticos

São causados por fontes identificáveis, e -em princípio- podem ser eliminados ou compensados. Estes erros fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. Decorre de uma imperfeição no equipamento de medição ou no procedimento de medição, pode ser devido a um equipamento não calibrado.

3.2 Erros aleatórios

Estes erros decorrem de fatores imprevisíveis. São flutuações, para cima ou para baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos, afetando a precisão da medida. Decorre da limitação do equipamento ou do procedimento de medição, que impede que medidas exatas sejam tomadas. Nem sempre é possível identificar as fontes de erros aleatórios.

Precisão é quando, pressupõe-se que, se a mesma for repetida várias vezes a variação da mesma em relação ao valor médio medido é baixa. A acurácia está associada a ausência de erros sistemáticos, mantendo as medidas em torno do valor real.

Portanto, quando o conjunto de medidas realizadas se afasta muito da média, a medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão (Figura 1 (a, b)). Quando as mesmas estão mais concentradas em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta (Figura 1 (c, d)), e os valores medidos tem uma distribuição de baixa dispersão.

a) Baixa precisão e baixa exatidão

b) Baixa precisão e alta exatidão

c) Alta precisão e baixa exatidão

d) Alta precisão e alta exatidão

Figura 1: Representação da precisão e exatidão em medidas experimentais

4 - TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS COM ERROS ALEATÓRIOS

Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas, se forem realizadas muitas medições aproximadamente a metade das medidas feitas estará acima e metade estará abaixo do valor correto. Portanto, uma boa estimativa para o valor correto da grandeza será a média aritmética dos valores medidos:

Ao serem realizadas várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da média. A dispersão do conjunto de medidas realizadas pode ser caracterizada através do desvio padrão, definido como:

Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando o desvio padrão é alto.

Quanto maior o número de medidas realizadas maior será a precisão, devido a compensação dos erros aleatórios. O erro padrão da média é definido como:

Observa-se através da equação que o erro padrão da média diminui com a raiz quadrada do número N de medições realizadas. Portanto, quanto maior o número de medições melhor é a determinação do valor médio.

O erro percentual ou relativo ao qual está submetida a medida, expresso em porcentagem, é obtido através da expressão:

5 - PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS

Como anteriormente mencionado, algumas medidas são obtidas através de equações (medidas indiretas), com base em medições realizadas diretamente de equipamentos (medidas diretas). Portanto, junto com as medidas são carregados também os erros, tornando necessário o conhecimento de como o erro da medida original pode afetar a grandeza final.

5.1 SOMA E SUBTRAÇÃO DE GRANDEZAS COM ERRO

A análise estatística rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos grandezas estatisticamente independentes o erro no resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros de cada uma das grandezas.

Por exemplo, se tivermos três grandezas:

e

a soma (ou subtração) delas, será afetada por erro de valor:

Como aproximação, pode-se usar que, se o erro de uma das grandezas da soma (ou subtração) for consideravelmente maior que os das outras, por exemplo, o erro do resultado será dado por este erro:

5.2 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE GRANDEZAS COM ERROS

Neste