Metodos Matematicos

1. Séries.

Séries infinitas, literalmente somas de um número infinito de termos, ocorrem com frequência tanto na matemática pura quanto na aplicada. Elas podem ser usadas pelo matemático puro para definir funções como uma abordagem fundamental da teoria de funções, bem como para calcular valores precisos de constantes transcendentais e funções transcendentais. Na matemática da Ciência e da Engenharia, as séries infinitas estão por toda parte, porque aparecem na avaliação de integrais, na solução e equações diferenciais e competem com as representações integrais na descrição de um grande número de funções especiais.

Desde o início enfrentamos o problema de atribuir significado a soma de um número infinito de termos. A abordagem usual é a das somas parciais. Se temos uma sequência infinita de termos u1, u2, u3, u4, u5, . . . , definimos a i-ésima soma parcial como

Essa é uma soma finita e não oferece dificuldade alguma. Se as somas parciais si convergem para um limite (finito), a medida que ,

diz-se que a série infinita é convergente e tem valor S. Note que, de um modo razoável , plausível, porém ainda assim arbitrário, definimos a série infinita como igual a S e que uma condição necessária para essa convergência para um limite é que . Entretanto, essa condição não é suficiente para garantir convergência..

A condição para a existência de um limite S é que, para cada > 0, haja um N=N( ) fixo tal que

para i > N.

Essa condição é frequentemente derivada do critério de Cauchy aplicado as somas parciais si. O critério de Cauchy é:

Uma condição necessária e suficiente para que uma sequência (si) convirja é que, para cada >0, haja um número fixo N tal que:

para todo i, j > N.

Isso significa que as somas parciais individuais devem se agrupar a medida que avançamos bastante na sequência.

2. Equações diferenciais de 1ª ordem.

Introdução a equações diferenciais.

Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções.

Um exemplo é o movimento de um pêndulo simples de massa m e comprimento L pode ser descrito por uma equação diferencial.