Métodos Quantitativos

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Unidade 2 – MEDIDAS ESTATÍSTICAS: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

O nosso objetivo aqui é a determinação e de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar. São os cálculos estatísticos que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição de dados, sendo que as medidas de posição mais utilizadas são: média aritmética, média ponderada, moda e mediana.

Média Aritmética (): A medida de tendência central mais comum para um conjunto de dados é a média aritmética. A média aritmética amostral de um conjunto de dados é o quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores, conforme indicado pela fórmula abaixo:

Onde: xi são os valores da variável e n o número de valores.

Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para um conjunto de observações: 5, 1, 6, 2, 4. Solução: Temos cinco observações (n=5), então:

Quando a amostra é muito grande e os dados são discretos, podem ocorrer valores repetidos. Nesse caso, é razoável organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências e trabalharmos com dados agrupados.

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência, utilizaremos a média aritmética dos valores x1, x2, x3,....xn ponderados pelas respectivas frequência absolutas f1, f2, f3,..., fn, Assim:

“Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula” anterior, onde xi é o ponto médio da classe (AMAZONAS, 2013, p. 16).

Exemplo (Cálculo da média com intervalos de classes): A Tabela 1 apresenta uma distribuição de frequência que será utilizada como exemplo de cálculo da média com dados agrupados em intervalo de classes.

Nos dados da Tabela 01, aplicando a equação anterior, temos que:

O valor obtido indica que a média ponderada da distribuição de frequência indicada pela Tabela 01 é 61.

Média Aritmética Ponderada (): A média aritmética ponderada também é chamada de média ponderada. É empregada quando as variáveis têm diferentes importâncias relativas, ou, ainda, diferentes pesos relativos.

No cálculo da média ponderada, cada valor coletado na série tem uma participação proporcional ao seu peso, isto é, proporcional à importância relativa no conjunto. A média ponderada é obtida pela soma das variáveis multiplicadas pelos seus pesos, dividida pela soma dos pesos de cada variável. Assim:

Onde:

= Média Ponderada

xi = observações ou números da variável em estudo;

pi = ponderações ou pesos da variável.

Exemplo: Calcular a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5.

RESOLUÇÃO:

Mediana (Md): A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de dados ordenados (ROL), portanto, está localizada na posição central, tal que 50% dos valores são menores que a mediana, e os demais 50% são maiores.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente):

“Quando o número de elementos (n) da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série” (AMAZONAS, 2013). Neste caso existirá um único valor de posição central, e esse valor será a mediana. Por exemplo, no conjunto de dados {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}, o valor que divide a esta série em duas partes iguais é igual a 9, logo a mediana é 9.

Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série de dados. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série de dados. Por exemplo, no conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6}, a mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série. Portanto, a mediana será = (2+3) / 2, ou seja, m = 2,50.

Cálculo da mediana em dados agrupados em intervalos de classe (variáveis contínuas)

Para se calcular a mediana em dados agrupados, devemos seguir os seguintes passos:

1º) Determinamos as frequências acumuladas (S Fi = n);

2º) Calculamos n/2; como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar.

3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à S Fi/2. Tal classe será a classe mediana (classe Md);

4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:

Onde:

lMd = limite inferior da classe mediana;

n = tamanho da amostra ou número de elementos;

FAA = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana.

h = é a amplitude do intervalo da classe mediana.

FMd = é a frequência da classe mediana.

A Tabela 2 apresenta determinada distribuição amostral que será utilizada para cálculo da mediana de dados agrupados.

1°) Calcula-se n/2. Como n=58, temos que 58/2=29º elemento;

2°) Identifica-se a classe mediana (Md) pela frequência acumulada. Neste caso a classe mediana é a 3°;

3°) Neste caso: lMd = 55; n = 58; FAA= 17; h = 10; FMd = 18. Aplicando a fórmula para cálculo da mediana temos:

Moda (Mo): Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor da amostra que mais se repete; ou seja,