NOTAS DE AULAS DE MATEMÁTICA PARA O CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS

M atem´atica Comerciale Financeira

Notas de aulas de Matema´tica para o curso de Administrac¸a˜o de Empresas

Prof. Ulysses Sodre´ [e-mail]

Departamento de Matema´tica - UEL

Londrina-PR, 4 de Abril de 2008

         ii

Ulysses Sodre´        2008        [e-mail]

Notas de aulas de Matema´tica Financeira, contendo diversos materiais utilizados em minhas aulas na Universidade Estadual de Londrina e tambe´m fora dela. Desejo que tais notas sejam apenas um roteiro para as aulas e na˜o espero que as mesmas venham a substituir qualquer livro de Matema´tica Comercial e Financeira.  A ordem do material e´ aquela normalmente tratada em livros sobre o tema. Alguns conceitos foram extra´ıdos de alguns livros, mas muitos deles foram fortemente modificados. Em l´ıngua portuguesa, existem poucos materiais de dom´ınio pu´blico, mas em l´ıngua inglesa ha´ diversos materiais que esta˜o dispon´ıveis na Internet. Suge- rimos que o leitor realize pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Versa˜o compilada no dia 4 de Abril de 2008.

Pa´gina Matema´tica Essencial

Endere¸cos  da  P´agina:

250	links	- atualizada:        http://mat.uel.br/matessencial/
168	links	-  desatualizada:  http://www.sercomtel.com.br/matematica/

“PORQUE DEUS AMOU O  MUNDO DE TAL  MANEIRA QUE DEU O SEU

FILHO  UNIGEˆNITO, PARA  QUE  TODO  AQUELE  QUE  NELE  CREˆ  NA˜ O

PEREC¸ A,  MAS  TENHA  A  VIDA  ETERNA.   PORQUE  DEUS  ENVIOU O  SEU  FILHO  AO  MUNDO,  NA˜ O  PARA  QUE  JULGASSE  O  MUNDO, MAS  PARA  QUE  O  MUNDO  FOSSE  SALVO  POR  ELE.    QUEM  CREˆ

N’ELE  NA˜ O  E´  JULGADO; MAS  QUEM  NA˜ O  CREˆ, JA´

---

ESTA´

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JULGADO;

PORQUANTO  NA˜ O  CREˆ  NO  NOME  DO  UNIGEˆNITO  FILHO  DE  DEUS. E O  JULGAMENTO  E´  ESTE: A LUZ  VEIO  AO  MUNDO, E  OS  HOMENS AMARAM ANTES AS TREVAS QUE A LUZ, PORQUE AS SUAS OBRAS ERAM  MA´ S.  PORQUE  TODO  AQUELE  QUE  FAZ  O  MAL  ABORRECE A  LUZ, E  NA˜ O  VEM  PARA  A  LUZ, PARA  QUE  AS  SUAS  OBRAS  NA˜ O SEJAM REPROVADAS. MAS QUEM PRATICA A VERDADE VEM PARA A  LUZ, A  FIM  DE  QUE  SEJA  MANIFESTO  QUE  AS  SUAS  OBRAS  SA˜ O FEITAS  EM  DEUS.”        A B´IBLIA  SAGRADA, JOA˜ O  3:16-21

Conteu´do

1. Elementos ba´sicos em Matema´tica Financeira         1

1.1        Capital .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .        1

1.2        Juros .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .        1

1.3        Notac¸o˜es comuns que sera˜o utilizadas neste material        .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .         1

1.4        Compatibilidade dos dados  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .        2

1. Juros simples        2

2.1        Juros simples   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .        2

2.2        Montante simples  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .        3

1. Fluxo de caixa        4

1. Exemplos importantes de Fluxos de Caixa  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .        5

1. Juros compostos        10

1. Montante composto        11
2. Calculando logaritmos no navegador para a Internet        12
3. Fator de Acumulac¸a˜o de Capital (Fator de P para S)         12
4. Ca´lculo do FAC com uma calculadora comum         12
5. Fator de Valor Atual        13
6. Ca´lculo do FVA com uma calculadora comum         13
7. Ca´lculo de juros Compostos         13

1. Taxas        14

1. Taxa Nominal        14
2. Taxa Efetiva        14
3. Taxa Real        15
4. Conexa˜o entre as taxas real, efetiva e da inflac¸a˜o         15
5. Taxas equivalentes        16
6. Ca´lculos de taxas equivalentes         17

1. Descontos        19

1. Tipos de descontos        19
2. Desconto Simples Comercial (por fora)        20
3. Desconto Simples Racional (por dentro)        20
4. Desconto Comercial composto (por fora)        20
5. Desconto Racional composto (por dentro)        21

1. Financiamento pelo Sistema Price        22
2. Sistemas de amortizac¸a˜o         25

1. Sistema de Pagamento u´nico         26
2. Sistema de Pagamentos Varia´veis         27
3. Sistema Americano        28
4. Sistema de Amortizac¸a˜o Constante (SAC)         28
5. Sistema Price (Sistema Franceˆs)         28
6. Sistema de Amortizac¸a˜o Misto (SAM)         29
7. Sistema Alema˜o         30

1. Estudo matema´tico do sistema alema˜o         31

1. O Modelo matema´tico         31
2. Fo´rmulas ba´sicas         34
3. Exemplo t´ıpico        35

1. Ana´lise de investimento ou financiamento         35

1. Valor Presente L´ıquido (NPV)        35
2. Taxa Interna de Retorno (IRR)        35
3. Conexa˜o entre NPV e IRR         35
4. Ana´lise entre dois Investimentos         36
5. Ana´lise entre dois Financiamentos         37
6. A Matema´tica do Valor Presente L´ıquido (NPV)         37

1. Divisa˜o em partes proporcionais         39

1. Propriedades das proporc¸o˜es         39
2. Divisa˜o em duas partes diretamente proporcionais         40
3. Divisa˜o em va´rias partes diretamente proporcionais         40
4. Divisa˜o em duas partes inversamente proporcionais         41
5. Divisa˜o em va´rias partes inversamente proporcionais         42
6. Divisa˜o em duas partes direta e inversamente proporcionais         43
7. Divisa˜o em n partes direta e inversamente proporcionais         44
8. Regra de Sociedade        45

1. Elementos ba´sicos em Matema´tica Financeira

A Matema´tica Financeira e´ uma ferramenta u´til na ana´lise de algumas alterna- tivas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A ide´ia ba´sica

e´  simplificar a operac¸a˜o financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns

procedimentos matema´ticos.