Número De Euler

Matemática Aplicada I

O Número de Euler:

Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler cujo valor é 2,718281828459045235360287, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para uma expressão muito comum no cálculo de juros compostos.

Irracionalidade de “e”:

Na matemática, o número de Euler é uma das mais importantes constantes reais. A demonstração de que este número é irracional é considerada um dos mais elegantes teoremas de matemática.

A demonstração baseia-se na representação do número de Euler pela série de Taylor da função exponencial em :

Esta é uma prova por contradição. Inicialmente, assume-se que e é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma:

onde tanto a como b são números inteiros positivos. Então, define-se o número:

Aqui é obrigatoriamente um número inteiro pois pode ser escrito como:

Agora, usamos a representação em séries dada por (1):

Desta forma fica claro que . Se pudermos provar que , o resultado está terminado, pois a contradição terá sido obtida, uma vez que não existe número inteiro maior que zero e menor que um.

Prova-se agora que , observando que para cada termo , vale a estimativa:

Introduz-se a mudança de variável e usa-se soma dos termos de uma progressão geométrica:

E o resultado segue, pois como é fácil ver , o que implica que não é um número inteiro e, portanto, .

Tabela demonstrativa do número de Euler:

x y

1 2

10 2,59374246

100 2,70481382

1000 2,716923932

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

10000000 2,718281694

100000000 2,718281815

Conclusão:

É notável que quanto mais o valor de “x” aumenta, mais o valor de “y” tende à se aproximar da constante de Euler.

Vida e obra

Nasceu em Basiléia, filho do pastor calvinista Paul Euler (lê-se "Óilã") e de Marguerite Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas: Anna Maria e Maria Magdalena.

Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Desprezando seu prodigioso talento matemático, determinou que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da família Bernoulli, e Johann Bernoulli - que foi um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente uma influência no pequeno Euler.

A sua instrução formal adiantada começou na terra natal para onde foi mandado viver com a sua avó materna. Aos 14 anos matricula-se na Universidade da Basiléia, e em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde comparava Descartes com Newton. Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johann Bernoulli que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática.

Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade de seu pai para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático.

Em 1726, Euler completou a sua dissertação na propagação do som, e a 1727 incorporou a competição premiada do problema da Academia de Paris, onde o problema do ano era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ganhou o segundo lugar, perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde conhecido como “o pai da arquitetura naval”. Euler, entretanto, ganharia o prêmio anual 12 vezes.

Número de Euler nas funções exponenciais:

Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.

As funções exponenciais são aquelas que crescem