O número de Euler

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suiço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por JakobBernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos).

E vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

O número também pode ser escrito como a soma da série infinita:

Aqui n! representa o fatorial de n. Pode-se ainda definir e como sendo o único número x > 0 tal que:

O número e apresenta um interesse particular porque pode-se demonstrar que:

Para todo real x, exp(x) = ex (e na potência x);

Assim, por exemplo, tem-se :

ou ainda

O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi).A irracionalidade de e foi demonstrada porLambert em 1761 e mais tarde por Euler.A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler :

O desenvolvimento da fração contínua de e pode ser escrito sob a forma interessante :

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra e são desconhecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra exponencial.

Tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.

Ou ainda, se escolherem números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.