O Cálculo numérico

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

MAP3121 - Métodos Numéricos e Aplicações - Tarefa 1

Camila Tamie Piai - 8994838 - Turma 5

RELATÓRIO DA TAREFA 1

A primeira etapa executada foi pedir para que o usuário digitasse o ângulo α desejado, em graus. Em seguida, foi importada a função Math para os cálculos de seno e cosseno do ângulo digitado. Após isso, foram feitos alguns cálculos a partir das equações dadas:

Primeiro calculou-se a velocidade inicial:

[pic 1]

Substituiu-se a velocidade na equação do movimento horizontal: [pic 2]

Isolando o t:

[pic 3]

Substituindo na equação do movimento vertical:
[pic 4]                [pic 5]

Em seguida, iguala-se essa equação à da montanha para se obter a intersecção:

[pic 6]                   [pic 7]

Para se obter as coordenadas atingidas pela bala, dado o α inserido pelo usuário, foi necessária a resolução da equação acima, onde o x corresponde à posição horizontal da bala. Para isso, foi utilizado o método de Newton. Antes de se inciar o método em si, o problema foi divido em duas situações: A que a bala passa por cima da montnha e quando a bala atinge a montanha. Foi, então calculado o ângulo β  para que a bala atingisse o pico da montanha. Parai sso, derivou-se a equação da montanha para se descobrir seu y máximo (ou seja, a altura do pico) e depois substitui esse valor na euqação para se obter o x máximo. Os valores obtidos foram:

xmáx = 20 e ymáx = 26. Calculou-se então, a ângulo β , através da equação:

[pic 8]             β = 19,560749945072357º

O resultado foi calculado de modo análogo ao cálculo de α para se atingir o alvo, que será mostrado posteriormente.

O primeiro caso, portanto, é quando o usuário digita um ângulo maior que β, ou seja, quando a bala ultrapassa a montanha.  Foi utilizada a equação abaixo como f(x):

[pic 9]

E calculou-se sua derivada:

[pic 10]

A função se maximiza quando α =45°, disso tira-se que o maior valor que x pode assumir é 78,3463. Portanto, foi utilizado um x0 = 80 como valor inicial para o método de Newton desse primeiro caso. Adotou-se um erro de 10-2 metros, para agilizar na obtenção da resposta.

O segundo caso é quando o ângulo inserido é menor que β, ou seja, quando a bala atinge a montanha. A resolução desse caso é o mesmo do primeiro, com excessão de que o valor inicial é mais baixo, x0 = 20. Foi determinado esse valor pois é o valor máximo que x pode assumir, visto que a abcissa do pico da montanha vale 20).

Obs.: Para valores de x inferiores a zero, ou seja, quando a bala não chega a tocar a montanha, foi adotado o valor zero para y, pois, nesse caso, a bala toca o chão.

Determinada as coordenadas dado um valor α inserido, foi calculado o α específico para que a bala atinja o alvo. Para tal, utilizou-se o método da bissecção. Sabendo que as coordenadas do alvo são (50 ; 12,5), trabalhou-se com a equação: