O conceito de derivado

Conceito de derivada

O conceito de taxa de variação analisa a taxa de varação media e a taxa de variação instantânea.

Tal analise permitirão entender o conceito de derivada, que tem grande aplicação nas mais variadas áreas de conhecimento. Naturalmente nossa atenção estará voltada para a aplicação de tal conceito, principalmente nas áreas de administração, economia e contabilidade.

Taxa de variação media

Como vimos no capitulo 2, o custo c para a produção de uma quantidade q de camisetas, estabelecemos o custo como função da quantidade, produzida, ou seja, C=f(q). E vimos também que para tal função, uma variação na quantidade de camisetas produzidas determinava uma variação correspondente nos custos de produção e assim pudemos definir que a taxa de variação media, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, c e, relação a variável independe q é dado pela razão.

M= variação em

Variação em q

Em tal exemplo pratico, por se trata se de uma função do 1ºgrau, salientamos que a taxa de variação media representa o coeficiente angular da reta que representa graficamente tal função. A equação de tal reta ou função é dada por y=f(x) =m.x+b

Na verdade, o conceito de taxa de variação media não é exclusivo das funções de 1ºgrau. A taxa de variação media pode ser calculada pra qualquer função. Se y representa a variável dependente e x a variável independente, então a taxa de variação media de y em relação á x calculada pela razão.

Taxa de variação media variação em y

Variação em x

Derivada de uma função em um ponto

Derivada de uma função como taxa de variação instantânea

A taxa de variação instantânea da função produção no instante x=3é muito importante e também recebe o nome derivada da função produção no ponto x=3. Simbolizamos a taxa de variação instantânea, ou derivada, no ponto x=3 por f(3).

Assim de modo geral a derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea da função no ponto:

F(a) = derivada da função f(x) = Taxa de variação instantânea

No ponto x= a de f(x) em x = a

F(a) = derivada da função f(x) = taxa de variação instantânea

No ponto x= a de f(x) em x =a

F(a) = derivada da função f(x) = lim f(a+b)-f(a)

No ponto x = a h 0 h

Logo a derivada de uma função f(x) em um ponto x=a é dada por

F´(a) = lim f(a+b)-f(a)

h 0 h

Derivada como inclinação da reta tangente.

Sabemos que a taxa de variação instantânea apresenta a derivada de uma função no ponto, então visualizamos a derivada de uma função em um ponto pela inclinação da reta tangente a curva naquele ponto.

Dada