O conceito de derivado

Conceito de derivada

Derivadas: por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma função. Derivadas (individual obtida empiricamente): como o próprio nome indica "derivada" traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o que lhe deu origem, etc..

Aplicações de Derivadas

 Velocidade e Aceleração

 Taxa de variação

Velocidade e Aceleração

Velocidade e aceleração são conceitos que todos nós conhecemos. Quando dirigimos um carro, podemos medir a distância percorrida num certo intervalo de tempo. O velocímetro marca a cada instante a velocidade. Se pisarmos no acelerador ou no freio, percebemos que a velocidade muda. Sentimos a aceleração.

Velocidade. Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s=s(t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então, o intervalo de tempo entre t e t + Δt, o corpo sofre um deslocamento.

Δs=s (t+Δs) – s(t).

Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente: Vm = s(t + Δt) – s (t) ,

Δt

Isto é, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo.

De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo no instante t. Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, calculamos sua velocidade média em instantes de tempo Δt cada vez menores. A velocidade instantânea, ou velocidade no instante t, é o limite das velocidades médias quando Δt se aproxima de zero, isto é,

V (t) = lim Δs = lim s (t + Δt) – s(t)

Δt->0 Δt Δt->0 Δt

Aceleração. O conceito de aceleração é introduzido de maneira análoga ao de velocidade.

A aceleração média no intervalo de tempo t até t + Δt é dada por:

am= v (t - Δt) – v (t).

Δt

Observamos que ela mede a variação da velocidade do corpo por unidade de tempo no intervalo de tempo Δt. Para obtermos a aceleração do corpo no instante t, tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo Δt cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite:

a (t) = lim v(t + Δt) – v (t) = v ‘ (t)

Δt->0 Δt

Logo, a derivada da velocidade nós da a aceleração. Como v(t) = s ‘(t), temos a(t) = v ‘ (t) = s ‘’ (t).