O conceito de derivados e suas aplicações

Conceito de Derivadas e suas Aplicações

Para iniciar o estudo de derivadas e suas aplicações, foi feita uma breve introdução

sobre derivada.

Definição: A derivada de uma função f é a função f ' definida pela fórmula:

f´ (x)=lim h->0¬¬¬¬¬¬¬¬ __f(x+h) – f(x)__

h

Também chamada de derivada de f em relação a x , desde que o limite exista. O

domínio de ' f consiste de todo x para o qual o limite existe.

A derivada ' f também pode ser interpretada de duas maneiras:

• Como inclinação da Tangente: a função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente

ao gráfico de ) y = f (x , ou seja, o coeficiente angular da tangente ao gráfico de ) y = f (x

no ponto (a, f (a)) é F´(a ).

• Como Taxa de variação: a função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y

em relação a x no ponto x , ou seja, se ) y = f (x , a taxa instantânea de variação de y em

relação a x é f´(x).

Outra maneira de apresentar intuitivamente o conceito de reta tangente é através do

limite de retas secantes.

Admita que uma curva tenha reta tangente em um ponto (X 0 , Y 0). Considere uma reta

secante à curva passando por dois ,pontos distintos sobre a curva:

(X 0 , Y 0) e (x,y).

A figura mostra o esquema da secante cortando a curva. A idéia é que para (x e y) próximo de

(X 0 , Y 0) a reta secante esteja próxima da reta tangente. A derivada é o coeficiente angular da reta

tangente, quando esta existe e não é vertical Matematicamente, a derivada é utilizada para o estudo de taxas nas quais variem as grandezas físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os seus conhecimentos a qualquer quantidade ou grandeza, desde que ela seja representada por uma função.

As aplicações da derivada são variadas, mas em todos os casos ela está sempre relacionada a uma taxa de variação. Pensa-se na derivada como o coeficiente angular da reta tangente, porém é importante lembrar que ela pode ser usado para indicar a taxa que o gráfico apresenta em uma curva que deve subir ou descer.

Entre as numerosas aplicações da derivada, muitas estão ligados a ela como: tempo, temperatura, volume, custo, pressão, consumo de gasolina, poluição do ar, lucros e despesas de uma companhia, ou seja, qualquer quantidade que possa ser representada por uma função.

Tais problemas citados são chamados de problemas de otimização.

Esses problemas de otimização podem ser reduzidos a determinar maior ou menor valor de uma função em algum intervalo onde esse valor ocorre.

Por exemplo, se o tempo for a questão principal de um problema, pode-se estar interessado em descobrir a maneira mais rápida de desempenhar curta tarefa (menor valor da função), ou caso o custo seja a preocupação principal, pode-se também querer saber a forma mais lucrativa de desempenhar certa tarefa (maior valor da função).

Então, é a partir das aplicações da derivada que serão desenvolvidas as soluções de

certos problemas.

De todas as aplicações da derivada, serão enfatizados os problemas

aplicados de máximos e de mínimos.

Deriva da funçao f(x)=7

f'(x) = lim(Δx->0) (f(x + Δx) - f(x)) / Δx

Resolvendo o limite:

f'(x) = lim(Δx->0) (7 - 7) / Δx

f'(x) = lim(Δx->0) 0 / Δx

f'(x) = lim(Δx->0) 0

f'(x) = 0

Exemplos da taxa de Variação

Exemplo 1

Vamos através de uma demonstração provar que a taxa de variação da função f(x) = 2x + 3 é dada por 2.

f(x) = 2x + 3

f(x + h) = 2 * (x + h) + 3 → f(x + h) = 2x + 2h + 3 (h ≠ 0)

Dessa forma temos que:

f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – (2x + 3)

f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – 2x – 3

f(x