Os Números Inteiros

1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho vamos estudar os números inteiros e suas aplicações.

O estudo dos números inteiros tem origem nas civilizações mais antigas que já conheciam a aritmética e as suas propriedades fundamentais dos números inteiros.

Os alunos do Ensino Fundamental II apresentam dificuldades ao trabalhar com as operações relacionadas ao conjunto de números inteiros. Isto ocorre pela forma como é passada aos alunos a regra de sinais para operar com números inteiros positivos e negativos, uma vez que não se esclarece a lógica da operação, apenas exige-se memorização.

O entendimento do significado de um número inteiro não é muito fácil, principalmente se considerarmos que durante os anos de formação inicial o aluno trabalhou só na quinta série com o conjunto dos números naturais, com as regras e propriedades das quatro operações.

Entendemos que a apresentação deste trabalho poderá auxiliar o leitor interessado identificar os conceitos matemáticos oriundos dos números inteiros e suas aplicações, bem como facilitar a aprendizagem dos estudantes e também ajudá-los na familiarização com suas operações.

O organograma desta monografia consta dos seguintes itens:

- A origem dos números e sua representação;

- Os sistemas de numeração;

- A teoria dos números inteiros;

- Os axiomas, as proposições e os exemplos de aplicação.

Foi feita uma pesquisa bibliográfica a respeito dos números inteiros e suas aplicações, buscando o aprofundamento teórico na análise do conteúdo, visando obter o melhor entendimento desse assunto.

2. A ORIGEM DOS NÚMEROS

Este capítulo é baseado em consulta feita ao livro História da Matemática (BOYER, 1999).

Antes de comentar como surgiram os números naturais precisamos ter uma idéia de como os homens primitivos viviam, quais as suas necessidades, como produziam alimentos, construíam casas, fortificações e proteções, domesticavam animais, plantavam e pescavam para sua subsistência, moravam em cavernas e usavam pedras como armas para sua defesa.

Os homens primitivos não tinham a necessidade de contar nos dedos das mãos e dos pés para obter a quantidade daquilo que necessitavam para a sua sobrevivência, a qual era tirada da natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem deixou de ser apenas produtor e consumidor daquilo que era necessário à sua subsistência e passou a interagir com seus semelhantes na busca de complementação dos insumos que lhe faziam falta.

Numa análise sobre os diversos historiadores, percebe-se claramente que os números inteiros tiveram sua origem com babilônios, embora a civilização dos sumérios que os precederam, deixaram conhecimento à respeito da necessidade e uso dos números.

No pastoreio, o pastor tinha algumas necessidades para contar e segurar o rebanho. De manhã, ele soltava as ovelhas, mas no final do dia ao recolhê-las verificava se haviam sido roubados ou fugidos alguns animais. Daí surgiu uma correspondência, um a um, onde cada ovelha correspondia a uma pedrinha que era armazenada num saco.

O homem não usou somente pedras para fazer correspondência um a um, provavelmente ele tenha utilizado alguma coisa que estivesse bem à mão, como os próprios dedos. O homem primitivo usava os dedos para fazer contagens, usando um dedo para cada objeto. Era fácil esquecer ou confundir quantos dedos haviam sido usados, porém separar pedras permitia colocar a informação mais segura. Daí surgiram os números, os quais serviam para marcar as quantidades.

2.1. A Origem dos Números Negativos

O conceito de um número é muito importante para o desenvolvimento da Matemática através da história. Neste contexto, compreende-se a origem e o conceito de um número para as atividades práticas do homem, tal como a necessidade de contar nos dedos das mãos, dos pés e nos objetos, que originou a definição de um número natural.

A importância do número continuou crescente na Matemática, onde os números naturais começaram a ser contados do zero para a direita e os números negativos do zero para esquerda, convenção iniciada na China.

Os chineses costumavam indicar uma coleção de barras azuis e vermelhas que representavam os números positivos e números negativos. A escolha era feita de modo que as barras azuis eram para os números positivos e as vermelhas para os negativos, uma vez que eles não entendiam o significado dos números negativos.

Na verdade, quem descobriu os números negativos foram os matemáticos hindus que consideravam um algoritmo para a resolução de equações algébricas.

As regras sobre as grandezas de números e formas eram conhecidas pelos gregos e já existiam teoremas sobre a subtração usando a propriedade distributiva que é uma das propriedades que vamos ver adiante, como por exemplo:

(a-c).(b-d) = a.b – a.d – b.c + c.d = a.b + c.d – a.d – b.c

Os hindus usavam transformações nas regras das operações numéricas com os números positivos e negativos.

Antes de continuar sobre as origens dos números negativos, vamos comentar um fato relacionado ao matemático Diophanto de Alexandria.

Diophanto nasceu no ano de 221 d.C. e faleceu em 305 com oitenta e quatro anos de idade, na Síria. Ele foi o criador da Álgebra Simbólica em 261. Em 271 ele chegou a cidade de Alexandria e impressionou os sábios da época com sua capacidade de aprender matemática,