Polinomios

Grau de um Polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau.

O polinômio -5x4 + 14x5y2 - 7x3y2 é do grau 7, pois o seu termo de maior grau é o segundo, que é do grau 7.

O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5, pois ambos os termos do polinômio são deste grau.

Grau de um Polinômio em Relação a uma Certa Incógnita

Em relação à variável x o polinômio -5x4 + 14x5y2 - 7x3y2 é do grau 5, pois o termo de maior grau nesta variável é do grau 5, que é o segundo termo.

Analisando o mesmo polinômio em relação à variável y, ele é do grau 2, já que tanto no segundo, quanto no terceiro termo o grau nesta variável é dois.

O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5 na variável a e do grau 3 em relação à variável b.

Redução de Termos Semelhantes

Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes.

No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois.

Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são denominados trinômios.

Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou subtração de termos semelhantes:

Multiplicação de Polinômios

Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o caso da multiplicação de um polinômio por um polinômio.

Multiplicação de um Polinômio por um Monômio

No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Vejamos a multiplicação abaixo:

Repare que multiplicamos 7xy2 por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Caso você ainda tenha dúvidas sobre como realizar a multiplicação de monômios, faça um revisão antes de prosseguir neste tema.

Veja mais alguns exemplos:

Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio

No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do polinômio resultante.

Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá-la mais facilmente:

Na primeira linha temos os dois polinômios a serem multiplicados.

Os dois primeiros produtos na segunda linha foram obtidos da multiplicação de 3a2b por cada um dos dois termos do segundo polinômio, 2a e 7a2b3.

Os dois últimos produtos na segunda linha foram obtidos multiplicando-se agora o segundo termo do primeiro polinômio, também por cada um dos dois termos do segundo.

A terceira linha que é o resultado final, já que não há termos semelhantes a reduzir, é o resultado após a multiplicação dos monômios entre parênteses na linha anterior.

Analise estes outros exemplos para uma melhor assimilação:

Para multiplicar mais de dois polinômios, comece multiplicando os dois primeiros, depois multiplique o polinômio obtido pelo terceiro e assim por diante até multiplicar por todos.

Para a multiplicar , por exemplo, primeiro multiplique , que como vimos acima é igual a , então multiplique por .

Divisão de Polinômios

Como no caso da multiplicação, temos tanto a divisão de um polinômio por um monômio, quanto a divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos tratar cada um dos casos individualmente.

Divisão de um Polinômio por um Monômio

Este é o caso mais simples, pois podemos fazê-lo dividindo cada um dos monômios que formam o polinômio, pelo monômio em questão.

Vamos analisar a divisão do polinômio abaixo:

Note que desmembramos o polinômio em duas partes, dividindo tanto 14x3y2 por 7xy2, quanto 7xy3.

Em caso de dúvida consulte a divisão de monômios, que foi explicada em detalhes na página sobre este tema.

Observe mais estes exemplos:

Divisão de um Polinômio por um Polinômio

Para realizarmos a divisão de polinômios é preciso que eles estejam reduzidos e ordenados.

O conceito da redução de termos semelhantes foi visto acima, quanto à ordenação de polinômios, dizemos que um polinômio está ordenado em relação à determinada variável, quando o grau de todos os monômios que os compõe, em relação a esta variável, estão ordenados de forma crescente ou decrescente.

O polinômio -5x4 + 6x5 - 7x3, não está ordenado em relação a variável x, já o polinômio 6x5 - 5x4 - 7x3 está ordenado de forma decrescente em relação a esta variável. Observe que os expoentes desta incógnita decrescem de 5 a 3.

Para explicar o procedimento da divisão