Polinomios

Exercícios de Operações com Polinômios

1. Identifique as expressões abaixo que são polinômios:

a) 3x3 - 5x2 + x - 4 b) 5x-4 - x-2 + x - 9 c) x4 - 16 d) x2 + 2x + 6 e)

Solução. De acordo com a definição de polinômios, temos:

a) É polinômio completo de grau2. b) Não é polinômio, pois os expoentes não são naturais.

c) É polinômio incompleto de grau 4. d) É polinômio completo de grau 2.

e) Não é polinômio, pois a variável não possui expoente natural.

2. Dado o polinômio P(x) = (m2- 36)x3 + (m + 6)x2 + (m - 6)x + 9. Determine m de modo que P(x) seja:

a) do 3º grau b) do 2º grau c) do 1 º grau

Solução. O coeficiente do termo de maior grau deve ser não nulo. Temos:

a) m2 – 36 ≠ 0. Logo, m2 ≠ 36. Então o polinômio será do 3º grau se m ≠ 6 e m ≠ -6.

b) Neste caso (m + 6) ≠ 0 e (m2 – 36) = 0. Unindo as condições, temos que m = 6. Assim anula o termo de 3º grau e mantém o grau2.

c) Para que os termos de graus 3 e 2 sejam nulos basta que m = -6. Assim o coeficiente de grau 1 será (-12), diferente de zero.

3. Encontre os valores de a, b e c de modo que o polinômio P(x) = (a + 1)x2 + (3a – 2b)x + c seja identicamente nulo.

Solução. Para que o polinômio seja identicamente nulo, todos os coeficientes devem ser nulos.

.

4. (UNIFOR-CE) Sejam os polinômios f(x) = (3a + 2)x + 2 e g(x) = 2ax – 3a + 1 nos quais a é uma constante. Calcule a condição para que o polinômio f.g tenha grau 2.

Solução. O termo de grau 2 será obtido na multiplicação dos termos de grau 1 de cada polinômio. Portanto basta estudar esse produto: .

5. Dado o polinômio P(x)= 2x3 - 5x2 + x - 3. Calcule: a) P(0) b)

Solução. Substituindo os valores e encontrando os valores numéricos, vem:

a) .

b) .

6. Dados os polinômios P1(x) = 5x2 - 3x + 6, P2(x) = -3x + 2 e P3(x) = x2 + 5x - 1. Calcule:

a) P1(x) + P2(x) - P3(x) b) P1(x).P2(x)

Solução. Aplicando a distributividade e redução de termos semelhantes, temos:

a) (5x2 - 3x + 6) + (-3x + 2) – (x2 + 5x – 1) = 5x2 - 3x + 6 -3x + 2 – x2 - 5x + 1 = 4x2 – 11x + 9

b) (5x2 - 3x + 6).(-3x + 2) = -15x3 + 10x2 + 9x2 – 6x – 18x + 12 = - 15x3 + 19x2 – 24x + 12

7. Determinar a, b e c de modo que (a + bx).(x + 2) + (c - 2).(x + 3) = 2x2 + 2x - 8.

Solução. Dois polinômios são iguais se seus coeficientes forem iguais.

.

8. Calcule m e n sabendo que (3x2- x + 2).(mx - n) = 6x3 - 5x2 + 5x - 2.

Solução. Igualando os coeficientes após a multiplicação no 1º membro, temos:

.

9. (UERN) Se A(x) = x2 – x + 1, B(x) = (x – 2)2 e C(x) = -3x, calcule [A(x) + B(x).C(x)].

Solução. Aplicando a distributividade e redução de termos semelhantes, temos:

(x2 – x + 1) + (x2 – 4x + 4).(-3x) = x2 – x + 1 - 3x3 + 12x2 – 12x = – 3x3 + 13x2 – 13x + 1

10. Calcular A e B de que + = .

Solução. Reduzindo a expressão ao mesmo denominador e igualando os coeficientes do 1º e 2º membros, temos:

.

11. Determine o resto da divisão de:

a) 2x3 - 5x2 + 4x - 4 por 2x -3

2x3 – 5x2 + 4x – 4 2x – 3

– 2x3 + 3x2 x2