Series Numericas

Sequências e Séries

Sadao Massago

Maio de 2011

Sumário

1 Aritmética Innitesimal 1

2 Sequências Numéricas 2

2.1 Algumas propriedades operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Teste da subsequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Sequências denidas pela função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Teorema de Sanduíche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.5 Usando a ordem da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.6 Sequências monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.7 Limite da sequência denida pela recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.8 Alguns limites importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Séries Numéricas 8

3.1 Algumas propriedades operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Limite do termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Séries geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Séries alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Séries de termos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.6 Séries absolutamente convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7 Teste da raiz e da razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Séries de Potências 17

4.1 Raio de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 O Intervalo de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Derivadas e integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Séries de Taylor e de Maclaurin 21

A Prova do Teorema 2.23 25

B Considerações sobre sequências recursivas 26

C Exemplo de rearranjos dos termos da séries condicionalmente convergentes 27

i

Capítulo 1

Aritmética Innitesimal

Denição 1.1. O innito é a representação do valor