Tensões Mecanica

Alguns casos particulares de tensões no espaço

A Figura 01 dá exemplos do círculo de Mohr para tensões no espaço em alguns casos particulares.

Em (a), todas as tensões principais têm o mesmo valor, isto é, σ1 = σ2 = σ3, e as tensões de cisalhamento são nulas, isto é, τ1 = τ2 = τ3 = 0.

[pic 1]

Fig 01

Essa situação só pode ocorrer com um fluido submetido a uma determinada pressão. Chamado, portanto, de condição hidrostática.

Em (b) e em (c), duas das três tensões principais são iguais e ocorre uma condição semi-hidrostática.

Em (d) e em (e), as duas tensões principais nulas, representando um estado simples de tensão (tração ou compressão).

Em (f) tem-se σ2 = 0 e σ1 = − σ3, representando um estado de cisalhamento simples, similar à condição vista para tensões planas.

Exemplo numérico para tensões no espaço

Seja um material sujeito às tensões nas direções das coordenadas de referência XYZ, com valores numéricos dados pela Figura 01. Deseja-se saber as tensões principais, normais e de cisalhamento.

[pic 2]

Fig 01

Conforme convenções da página anterior, os valores com sinais são

σx = 120 MPa
σy = −20 MPa
σz = 70 MPa

τxy = τyx = −40 MPa
τyz = τzy = 50 MPa
τxz = τzx = 25 MPa

Segundo igualdade vista em página anterior, as tensões normais são as soluções da seguinte equação do terceiro grau

σ3 − A σ2 + B σ − C = 0. E as fórmulas para os coeficientes A, B e C são:

A = σx + σy + σz = 120 + (−20) + 70 = 170 MPa.

B = σx σy + σy σz + σx σz − τ2xy − τ2yz − τ2xz.
B = 120 (−20) + (−20) 70 + 120 70 − (−40)2 − 502 − 252.
B = −2400 − 1400 + 8400 − 1600 − 2500 − 625 = − 125 MPa2.

C = σx σy σz + 2 τxy τyz τxz − σx τ2yz − σy τ2xz − σz τ2xy.
C = 120 (−20) 70 + 2 (−40) 50 25 − 120 502 − (−20) 252 − 70 (−40)2.
C = − 168000 + 100000 − 300000 + 12500 − 112000 = − 478750 MPa3.

E a equação anterior fica σ3 − 170 σ2 − 125 σ + 478750 = 0.

[pic 3]

Fig 02

As soluções para essa equação podem ser vistas graficamente na Figura 02 ao lado.

Em outras palavras, são os valores de σ que fazem a função

F(σ) =  σ3 − 170 σ2 − 125 σ + 478750 ter valor igual a zero.

Para determinar os valores numéricos, pode-se empregar um método de aproximações sucessivas que encontre uma das soluções.

Aqui é usado o método da bisseção (ou bissecção). É simples, embora a convergência não seja tão rápida porque é um processo linear. A Figura 03 abaixo dá o princípio para uma função genérica F(x).

[pic 4]

Fig 03

Escolhem-se dois valores arbitrários x1 e x2 tais que F(x1) F(x2) < 0. Assim, pelo menos uma solução, F(x) = 0, está entre x1 e x2.

Se o produto F(x1) F(xm) é positivo, o próximo valor de x1 é xm e x2 permanece. Caso contrário, o próximo valor de x2 é xm e x1 permanece. Continuando o procedimento, os valores médios se aproximam da solução conforme indicado na figura (xm, xm', etc).

Para determinar o valor exato, precisar-se-ia da impossibilidade prática de infinitos passos. Num procedimento real, pode-se estabelecer um intervalo mínimo delta = x2 − x1, executando as iterações até esse valor. E um código em Visual Basic para o método com a equação dada para as tensões principais seria:

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