Vetores linearmente dependentes

1) Mostre que (1,-1), (1,2) e (2,1) são linearmente dependentes . 2) Dados
=² e 1=(1,−1) e 2=(1,2). 1 e 2 são linearmente independentes ?

3) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em ². a) 1=(2,1)  2=(3,2) b) 1= (−2,1),2= (1,3) e 3= (2,4) 4) Indique se os vetores dados no exercício anterior formam ou não uma base para ². 5) Dados 1=(2,1) e 2=(4,3). Mostre que 1 e 2 formam uma base para ² e diga qual é a dimensão desta base.

RESPOSTAS: 1) =(1,−1); =(1,2); =(2,1) Os vetores , ,  são linearmente dependentes se, e somente se, existe um conjunto de números complexos ,…,  com  ≠0 para pelo menos um valor de i, tal que +  +  =0 , ou seja: (1,−1)+ (1,2)+ (2,1)=0 Podemos verificar que se = =1 e =−1, então: 1(1,−1)+ 1(1,2) −1(2,1)= (1,−1)+ (1,2)+(−2,−1)=0 Logo, os vetores ,  e  são   !"! # .

2) São linearmente independentes, pois: +=0 => (1,−1) + (1,2)=(0,0) % 1+2=0 −1+2 2=0&

Reduzindo a matriz na forma escada, veremos que o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da aumentada, portanto 1=0 e 2=0, portanto, os vetores são linearmente independentes.

3) a) São linearmente independentes. 11+22=0 1(2,1)+2(3,2)=0 %2 1+3 2=0 1+2 2=0 &

Se o determinante da matriz dos coeficientes for igual à zero, a matriz é singular e se for diferente de zero, é inversível. Então podemos também resolver o problema de independência linear achando o determinante da matriz. Neste caso, ' =0, portanto, os vetores são   !"! # .