Os Números Inteiros

1.2 Números Inteiros

 Introdução

  Diariamente nos deparamos com situações que exigem a necessidade de contar e relacionar quantidades, essa necessidade fez com que a matemática se desenvolvesse ao longo do tempo e criasse símbolos com intuito de expressar diversas situações. Vários sistemas de numeração foram criados em todo mundo no decorrer dos anos, os mais antigos foram criados no Egito, Suméria e Babilônia. Existem também outros sistemas de numeração que são bastante conhecidos pela matemática, como o Chinês, o Grego, os Maias, o Romano, entre outros.

    No tempo antigo o homem criava situações interessantes na contagem de seus objetivos, animais... Um exemplo muito legal era quando os pastores levavam seu rebanho para a pastagem, para cada ovelha ele associava uma pedra e no fim do dia quando recolhia os animais fazia a relação inversa, no caso de sobrar alguma pedra poderia verificar a falta de alguma ovelha.

   No decorrer do tempo o homem buscava encontrar algo mais concreto, que tornassem as situações dos dia a dia mais fáceis. O surgimento dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4...) revolucionou o método de contagem, pois relacionava símbolos (números) a determinadas quantidades.

1.2.1- Apresentando os Inteiros

    Com o passar dos anos e a expansão comercial, logicamente aumentou a circulação do dinheiro, existindo assim a necessidade de expressar situações que envolvesse lucros e prejuízos. A maneira que foi encontrada para resolver esses problemas consistia na utilização dos símbolos + e -.

   Utilizando essa nova simbologia, os matemáticos devolveram técnicas operatórias que são capazes de expressa diversas situações envolvendo números positivos e negativos.

Surgiu então um novo conjunto de numérico representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão) que incluir todos os números positivos inteiros e seus respectivos opostos (negativos).

Z = {.... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}

Para determinar  que o zero não esta fazendo parte do conjunto determinados, indicamos assim Z*. Veja o exemplo abaixo.

Z* = {.... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

    Observe que o conjunto dos números inteiros (Z) é a união dos números naturais (N) com os números negativos.

N = {0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

números negativos: ..., - 4, - 3, - 2, - 1

Z = {..., - 4, - 3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}  

Podemos observar nos dois exemplos acima que no conjunto dos números inteiros tanto positivos como negativos possuem antecessores e sucessores

 Uma das formas de representar os números inteiros em ordem é através da reta numérica.

[pic 1]

+ 3 é o oposto (ou simétrico) de  – 3.

Os dois números estão à mesma distância do zero (origem).

     Os números inteiros estão presente em nosso dia a dia, em diversas situações como por exemplo; para situar fusos horários de países, saldos bancários, saldo de gols dos times de futebol nos campeonatos, medições de temperatura acima ou baixo de 0 ºC (zero grau), desacelerações de corpos e etc.  

    Outra propriedade importante nos números inteiros é o módulo ou valor absoluto de um número inteiro.

Indica-se o módulo com o símbolo |   |

Exemplos:

| - 9 | = 9

| 13 | = 13

| 2 - 10 | = 8

  Observação:

Na verdade o zero não é um número natural, pois ele, por si só, não serve para contar, que é a principal função dos números naturais. Porém, optamos por mantê-lo no conjunto N.

Perguntas

Quando comparamos dois números inteiros

1. negativos, como definir qual deles é o maior?
2. positivos, como definir qual deles é o maior?
3. sendo um positivo e outro negativo, como definir qual deles é o maior?

1.2.3- Operações com Números Inteiros

    Tanto no conjunto dos números naturais como no conjunto dos números inteiros, temos 6 operações que são elas; adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação. Agora vamos estudar cada uma delas.

Adição e subtração:

          Na adição de números inteiros, somam-se as parcelas e na subtração diminui:[pic 2]

Exemplos:

+2 + +5 = 7

- 5 – 4= -9

+4 – 3= 1

+2 + (-3) = -1

*Sinais diferentes: conserve o sinal do maior número e subtraia

Exemplos:

3 – 4 = – 1 → O maior número é o quatro; logo, o sinal no resultado foi negativo.
– 15 + 20 = + 5 → O maior número é o vinte; logo, o sinal no resultado foi positivo.

Multiplicação e Divisão

Sinais iguais na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal positivo e sinais diferentes sempre resultam em sinal negativo.