Qual a precisão de uma medida?

Qual a precisão de uma medida?

Como podemos expressar uma medida com a maior precisão possível utilizando o conceito de algarismos significativos e introduzir o conceito de incertezas e análise de erros?

Quando estudamos engenharia imaginamos que a palavra erro tem a mesma conotação de equívoco ou engano. O erro de uma medida científica significa a inevitável incerteza que é provocada pelo instrumento utilizado na medição, quanto mais preciso for meu instrumento mais precisa será nossa medida. O que devemos fazer é assegurar que esse erro causado pelo instrumento seja o menor possível, tornando nossa medida mais confiável.

Para ilustrar a inevitável ocorrência de uma incerteza na medida vamos utilizar como exemplo uma situação comum do dia a dia como medir as dimensões de uma mesa de jantar analisando sua altura, largura e espessura.

Primeiramente vamos escolher qual instrumento vamos utilizar na medida, essa escolha importante para determinar o quão precisa é a nossa medida. Adotaremos inicialmente uma trena graduada em pés(1 pé =30,48 cm) e obtivemos uma leitura entre 2 pés e 3 pés, essa medida esta muito “crua” e certamente muito sujeita a incertezas, se adotarmos 2 pés ela terá 60,96 cm e ficaria muito baixa para os nossos padrões, já com 3 pés ela passaria a ter 91,44 cm agora estaria muito alta. A escolha de uma trena graduada em pés gerou uma incerteza muito grande e para mensurar uma mesa com mais precisão vamos precisar de um instrumento mais acurado, com uma graduação menor.

Utilizando agora uma trena graduada em centímetros obtemos uma medida de 74 cm (algo entre 2 pés e 3 pés), essa medida é bem mais precisa que a anterior, mas ainda possui uma incerteza. Como identificar a imprecisão na nova medida?

É importante separar os tipos de erros possíveis em uma medida. Um erro sistemático ou instrumental é aquele causado pela imprecisão do instrumento utilizado. Já um erro acidental ou casual é aquele causado em geral por variações nas condições em que asmedidas foram feitas:temperatura, pressão, umidade e por erros de leitura por parte do observador. Efetuando-se uma série de medidas e tirando a média, consegue-se compensar decerta maneira o efeito desse tipo de erro, obtendo-se uma melhor estimativa daquilo que se pretende medir.

No caso da trena graduada em centímetros a menor leitura que podemos fazer é de 1 cm, qualquer valor intermediário seria impossível de aferir com este instrumento. Na figura abaixo a leitura feita esta um pouco acima de 74 cm, mas o quanto ela se encontra acima de 74 não conseguimos precisar e com certeza esta abaixo de 75cm.

Como expressar corretamente o resultado de uma medição para que não haja dúvidas? A melhor maneira é expressar a melhor medida (ou a média de várias medidas) e adicionar a incerteza, voltando ao exemplo da mesa, a medição indica um valor próximo de 74 cm, mas, existe uma imprecisão que foi gerada pelo instrumento que só mede de 1 cm em 1 cm. O correto é expressa-la como :

Altura da mesa = 74 ± 1 cm.

Esta declaração significa que qualquer pessoa que repetir a medição encontrará no máximo 75 cm e no mínimo 73 cm, em geral podemos expressar qualquer grandeza utilizando a equação (1) abaixo:

Onde x é a grandeza mensurada e é a incerteza (ou erro) gerada pelo instrumento utilizado.

Muitas regras básicas sobre como declarar uma incerteza merecem ser discutidas. Primeiro, como a quantidade de é uma estimativa de uma incerteza ele deve ser declarada com a mesma precisão da medida. Se medirmos a aceleração da gravidade e declararmos o resultado da forma:

( g medido ) = 9,82 ± 0,02385 m/s2

É errado declarar a incerteza com seis casas depois da vírgula e a melhor medida com duas casas depois da vírgula. Para resolver esse problema vamos introduzir a ideia de algarismos significativos

O conceito de algarismos significativos procura indicar que nem todos os algarismos que aparecem na representação deuma medida ou no resultado de uma operação matemática tem significado físico, que possa interferir no resultado. Ao se medir o comprimento da mesaencontrarmos 74 cm, quer-se dizer que a imprecisão (o erro da medida) está no último algarismo "4". Se escrevermos 74,0 vai passar uma informação errada sobre a precisão da medida que no que é de centímetros como no primeiro caso e não de décimos de centímetros como no segundo caso.

Há casos onde necessitamos colocar em potencia de 10 para expressar corretamente os algarismos significativos, por exemplo, 12 000 000 000 m nessa medida temos 11 algarismos significativos. Em potencia de 10 ficaria 1,2x1010m. Um número em potência de 10, o primeiro fator deve indicar os algarismos significativos e o segundo nos diz de quantoszeros se devem deslocar a vírgula.

Para se saber quantos algarismos significativos existem em um número que expressa a medida de uma propriedade física vamos seguir as seguintes regras.

I. O algarismo que fica mais à esquerda, diferente de zero, é o mais significativo.

II. Se não há vírgula, o algarismo que fica mais à direita, diferente de zero, é o algarismo menos significativo.

III. Se há vírgula, o último algarismo da direita é o menos significativo, mesmo que ele seja zero.

IV. Todos os algarismos entre o mais e o menos significativo são significativos.

Durante os cálculos, pode-se trabalhar com um algarismo a mais, mas ao se apresentar o resultado final, deve-se usar o número correto de algarismos significativos, obedecendo às seguintes regras:

I. Se o algarismo a ser cortado for maior que 5, soma-se 1 ao algarismo anterior.

II. Se o algarismo a ser cortado for menor que 5, o algarismo anterior mantém-se inalterado.

III. Se o algarismo a ser cortado for igual a 5, soma-se 1 ao anterior se ele for ímpar, mantendo-o inalterado se for par.

Portanto se algum cálculo resultar em alguma incerteza de =0,02385 m/s2, essa resposta deve ser arredondada para =0,2m/s2 seguindo os critérios de arredondamento. Assim a medida da gravidade expressa corretamente seria

( g medido ) = 9,82 ± 0,02 m/s2

Regra para declaração de respostas

O último dígito significativo em uma resposta deve ser da mesma ordem