Trabalho De Algebra Linear

Etapa 2

Aula – Tema: Sistemas de Equações Lineares.

Passo – 1

Equação Linear: É uma equação composta exclusivamente de adição e subtração de termos que são constantes ou o produto de uma constante pela primeira potência de uma variável. Conforme a natureza do problema que dá origem a equação, as constantes e as variáveis podem ser números inteiros, reais, complexos ou ter uma estrutura ainda mais geral.

Sistema de equações lineares: É uma matéria fundamental para a matemática moderna, algoritmos computacionais para achar soluções, é uma parte importante da álgebra linear numérica, e tais métodos têm uma grande importância na engenharia, física, química, ciência da computação e economia. Um sistema de equação não – linear freqüentemente pode ser aproximado para um sistema linear, uma técnica útil quando se está fazendo um modelo matemático ou simulação computadorizada de sistemas complexos.

Solução de equação linear: Uma solução da linear a1 x1 + a3 x3 + ... + an xn = b é uma n-upla(vetor) S = (S1, S2 ... Sn), cuja entradas S1 podem ser colocadas no lugar de cada xj, para f = 1, ... , n, de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto solução de uma equação linear é aquele formado por todas as suas soluções.

Solução de sistemas de equações lineares: Uma solução de sistema linear é uma n-upla de valores S= (S1, S2,..., Sn) que simultaneamente satisfazem todas as equações do sistema.

Passo – 2

Qualquer sistema linear pode ser classificado quanto número de soluções. Lembrando que um sistema linear é um conjunto de equações lineares.

Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma:

SPD: Sistema Possível Determinado

SPI: Sistema Possível Indeterminado

SI: Sistema Impossível

Sistema Possível e Determinado:

Dado o para ordenado (2,3) e o sistema a seguir,

x + y = 5

4 x – 2 y = 2

Podemos dizer que o par ordenado (2,3), é a única solução do sistema, por isso o classificamos como SPD.

Sistema Possível Indeterminado:

SPI é um sistema que possui infinitas soluções,

x – y + z = 2

4 x – 4 y + 4 z = 8

Podem existir inúmeras soluções para o sistema mostrado acima, como SPI. Algumas soluções possíveis (1,1,2), (0,2,4), (1 0 1)

Sistema Impossível:

SI, é um sistema impossível de se resolver, não apresenta soluções.

3 x – 3 y = -9

3 x – 3 y = 15

Não existe nenhum par ordenado que satisfaça as equações do sistema acima, por isso os classificados no próprio desenho

Matriz dos coeficientes das variáveis:

É a matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema ou saída de uma coluna formada pelos termos independentes.

Matriz Ampliada de um sistema linear:

A matriz ampliada de um sistema linear esta em forma de escada se satisfazer as seguintes condições.

1) Em cada linha não nula, a primeira entrada não nula esta mais à direita do que na linha anterior (conseqüentemente, por baixo da primeira entrada não nula de cada linha, todas as entradas são nulas).

2) As linhas nulas, se as houver, estão abaixo das linhas não nulas.

Passo 3

Considere o circuito a seguir com L1 e L2 descarregados.

i = i1 = i2

v = v1 + v2

Leis de Kirchhoff:

Equações de bipolos:

v = L1 di / d+ + L2 d2 / d+ = (L1 + L2) d1 / d+ = L = di / d+

L = L1 + L2 , i (0) = i1 (0) = i2( 0) = 0

Sob o ponto de vista do resto do circuito, a associação série dos indutores pode ser substituída para um indutor equivalente.

A indutância resultante de uma associação série de indutores lineares é a soma das indutâncias dos componentes.

Passo 4

Determine a matriz dos coeficientes das variáveis, e a matriz ampliada desse sistema linear:

2x1 + 4x2 = 16

5x1 - 2x2 = 4

3x1 + 1x2 = 9

4x1 + 5x2 = -7

Resolução

2 4 16

5 -2 4 = L1(1/2)

3 1 9

4 -5 -7

1 2 8

0 -12 -36 = L3 = L3 + L1 (-3)

3 1 9

4 -5 -7

1 2 8

5 -12 -36 = L4 = L4 + L1 (-4)

0 -5 -15

4 -5 -7

1 2 8

0 -12 -36 = L2 (-1/12)

0 -5 -15

0 -13 -39

1 2 8

0 1 3 = L1 = L1 + L2 (-2)