Equação Do Terceiro Grau

TRABALHO INTERDISCILINAR DIRIGIDO

INSTITUTO POLITÉCNICO – Centro Universitário UNA

“RAIZES DE EQUAÇÕES DO TERCEIRO GRAU”

Descrição Histórica

Em Matemática, uma equação cúbica ou equação do terceiro grau é uma equação polinomial de grau três. Um exemplo é a equação:

2x3 − 4x2 + 3x − 4 = 0

Doravante utiliza-se a seguinte notação para a equação do terceiro grau:

α3x3 + α2x2 + α1x + α0 = 0, sendo α3, α2, α1, α0 constantes.

Supondo sempre que α3 é diferente de zero, pois caso contrário não seria uma equação de grau três. Observe que, como sempre é possível dividir a equação por α3, pode-se supor que o coeficiente de x3 é igual a 1.

O interesse pelo estudo da Matemática ressurgiu na Europa no século XVI. Nessa época, na Itália, com o objetivo de resolver equações do terceiro grau, foi que se percebeu que os números reais não eram suficientes e as primeiras ideias para a criação do conjunto dos números complexos surgiram.

É interessante ressaltar que resolver equações sempre foi um assunto que fascinou matemáticos ao longo da história. Os matemáticos antigos da Babilônia sabiam resolver algumas equações do segundo grau por completamento de quadrados. Os gregos da antiguidade resolviam alguns tipos de equações do segundo grau por meio de construções geométricas com régua e compasso.

A conquista da Grécia pelo Império Romano praticamente acabou com o domínio da Matemática Grega. Depois, com o fim do Império Romano e a ascensão do Cristianismo, o desenvolvimento da Matemática ficou nas mãos dos árabes e dos hindus.

Os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em álgebra e, no século XII, o matemático Bhaskara Akaria estabeleceu a fórmula que fornece as soluções para equações do segundo grau, chamada de fórmula de Baskara: dada a equação com , a fórmula da equação do segundo grau garante que suas raízes são e . Pode acontecer que o número seja negativo. Quando isso acontecia, os matemáticos da época simplesmente diziam que o problema não tinha solução.

Scipione del Ferro (1465-1526) é o matemático a quem se deve o primeiro método de resolução de equação do terceiro grau. Ele descobriu uma solução algébrica para equações do tipo em 1505, mas a manteve secreta para regularmente fascinar seus colegas e o público em geral em desafios matemáticos que eram realizados na época no pátio da Igreja de Santa Maria dei Servi.

Pátio da Igreja de Santa Maria dei Servi em Bologna onde eram realizados desafios de matemática.

Os desafios matemáticos cobriam de crédito e prestígio seus vencedores e particularmente permitiram que del Ferro passasse a desfrutar da proteção de nobres poderosos. Seu salário passou de 25 para 150 liras no período de 1496 a 1510.

Antes de morrer, revelou a resolução seu aluno Antonio Maria Fior, que aparentemente nunca desenvolveu trabalho matemático original.

Nicoló Fontana (1499-1557), conhecido como Tartaglia soube da existência de uma solução para equações do terceiro grau e ficou estimulado a obtê-la por si mesmo. Não se sabe se sozinho ou por meio de alguma informação recebida, é fato que em 1541 Tartaglia tinha conhecimento de um método geral.

Foi então organizado um duelo matemático entre Fior e Tartaglia: cada um deles propôs 30 problemas para serem resolvidos pelo oponente em um certo tempo pré-estabelecido. Tartaglia resolveu todos os problemas apresentados a ele, mas Fior não resolveu um único. A razão é que Fior apenas sabia resolver as equações com p e q positivos, que del Ferro havia lhe ensinado, enquanto que Tartaglia era capaz de resolver equações da forma , possivelmente reduzindo ao caso precedente.

Nessa época, Girolamo Cardano (1501 - 1576) estava escrevendo o livro Pratica Arithmeticae Generalis, que continha ensinamentos sobre álgebra, Aritmética e Geometria. Ao saber que Tartaglia achara a solução geral da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, com uma vaga promessa de lhe encontrar um mecenas. Mas Tartaglia queria publicar o seu próprio resultado. Depois de muita insistência e prometendo não divulgá-la, Cardano obteve a resolução. Sua maior obra, Ars Magna foi publicada na Alemanha em 1545 e tornou-se o maior compêndio algébrico existente da época. A resolução de Tartaglia, com todos os detalhes, lá estava publicada. A partir daí, iniciou-se uma enorme inimizade, com ásperas discussões e grandes polêmicas que ficaram conhecidas por toda a Europa. [1]

TÉCNICAS E SOLUÇÕES

O Método de Cardano-Tartaglia

As soluções podem ser encontradas usando o seguinte método desenvolvido por Scipione del Ferro e Tartaglia, publicado por Girolamo Cardano em 1545.

Apresentaremos o desenvolvimento teórico do método de Tartaglia, também conhecido como método de Cardano, uma vez que este último tornou público o trabalho de Tartaglia.[2]

Uma equação geral do terceiro grau na variável x, é dada por:

a x³ + b x² + c x + d = 0

e se o coeficiente a do termo do terceiro grau é não nulo, dividiremos esta equação por a para obter:

x³ + (b/a) x² + (c/a) x + (d/a) = 0

e assim iremos considerar só as equações em que o coeficiente de x³ seja igual a 1, isto é, equações da forma geral:

x³ + A x² + B x + C = 0

onde A=b/a, B=c/a e C=d/a. Fazendo a substituição de translação:

x = y-A/3

na equação acima, obteremos:

y³ + (B-A²/3) y + (C-AB/3+2A³/27) = 0

e tomando p=(B-A²/3) e q=C-AB/3+(2/27)A³, poderemos simplificar a equação do terceiro grau na variável y, para:

y³ + p y + q = 0

Como toda equação desta forma possui pelo menos uma raiz real, nós procuraremos esta raiz na forma y=u+v. Substituindo y por u+v, na última equação, obteremos:

(u+v)³