Conceito derivativo e regras de derivação

Conteúdo

Conceito de Derivada e Regras de Derivação 2

Introdução 2

ETAPA 1 2

Velocidade Média 2

Velocidade Instantânea 3

Aceleração média e instantânea 5

ETAPA 2 6

A Constante de Euler 6

Séries harmônicas 9

Crescimento Populacional 10

ETAPA 3 12

Problemas de Otimização 12

ETAPA 4 15

Aplicações das derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da Economia. 15

Conclusão 18

Bibliografia 18

 

Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Introdução

Essa atividade visa aplicar conhecimentos de cálculo nas diversas áreas do conhecimento, como na biologia, física, música, matemática financeira. Crescimento populacional, cálculo de áreas ou volumes máximos, calculo de velocidades e acelerações instantânea, calculo de juros compostos são alguns exemplos de aplicações de derivada, limites, logaritmo natural na Biologia,na Engenharia,na física e na matemática financeira.

ETAPA 1

Velocidade Média

A velocidade média é definida como a taxa de variação do espaço percorrido é o tempo gasto para percorre-lo.a velocidade média é uma grandeza vetorial.

Exemplificando se a função espaço é s =10+8t^2 , conforme ilustra o gráfico abaixo, teremos, para o intervalo de t=0 a t=5s, a variação de posição de ∆s=210m-10=200m

Logo a velocidade média será dada por

v_m= ∆s/∆t= 200/5 =40 m/s

Observando no gráfico notamos que a velocidade média é o coeficiente angular da reta secante a curva da posição em função do tempo.que une a posição no instante inicial A e a do instante final B.

Velocidade Instantânea

O conceito de velocidade instantânea está associado a um intervalo de tempo infinitesimal. E escrevemos v para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v é o valor do módulo da velocidade média v_((t_2 ) ) quando t_2 é tomado muito próximo de t_1, ou seja, a velocidade instantânea é igual ao valor limite de velocidades médias (em intervalos de tempo cada vez menores). Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v pode ser feito como o cálculo do módulo da velocidade média v_m, desde que o segmento de reta secante (AB) ⃡ seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo. Isso nos leva a concluir que a velocidade instantânea é a derivada da função espaço.

v_((t_1 ) =) lim┬(∆t→0)⁡〖Δs/Δt〗

Logo:

v = ds/dt

Exemplificando:

Vamos considerar uma partícula, partindo do repouso, de uma posição inicial 10m com uma aceleração 21m/s2 (0+9+1+2+1+8, somatório do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes no grupo). A função espaço será dada por

s = 10+10.5t^2

Tabela da s_((m) )× t_((s) )

t(s) 0 1 2 3 4 5

S (m) 10 20,5 52 104,5 178 272,5

A função espaço é uma função quadrática, cuja variação de espaço no intervalo de 0 a 5s é 262,5m. Para calcular as velocidades e plotar o gráfico da v_((m⁄s) ) iremos calcular a derivada da função espaço que é a função velocidade.

v = d(10+10.5t^2 )/dt

v =21t

Tabela da v_((m/s) )× t_((s) )

t (s) 0 1 2 3 4 5

V (m/s) 0 21 42 63 84 105

Figura 3: Gráfico da velocidade em função do tempo para a função velocidade v=21t A área sombreada representa o espaço percorrido

A função velocidade é uma função linear e a variação de velocidade de 0 a 5s é de 105m/s. A área sob a curva, como mostra a figura 4, pode ser calculada pela área do triângulo.

A = bh/2

A = (5×105)/2= 262,5

Observamos que o valor da área formada pela função velocidade representa a variação do espaço percorrido.

Aceleração média e instantânea

A aceleração média é definida como a razão da variação da velocidade pelo intervalo de tempo.

a = ∆v/∆t

Se quizermos a aceleração instantânea deveremos calcular a aceleração média para quando o intervalo de tempo tender a zero, isto é:

a = lim┬(∆t→0)⁡〖Δv/Δt〗

a = dv/dt

Logo a aceleração instantânea é a derivada da função velocidade em relação ao tempo. Portanto a função aceleração é a derivada de uma outra função derivada. então pode ser considerada como a derivada segunda da função espaço

a = (d^2 s)/(dt^2 )

No exemplo anterior tnhamos:

s = 10+10,5t^2

Fazendo sua primeira derivada temos

ds/dt = d(10+10,5t^2 )/dt

ds/dt=21t

Fazendo a segunda derivada temos:

a = (d^2 (21t))/(dt^2 )

Logo

a = 21 m/s^2

O gráfico da aceleração em função do tempo está mostrado na figura 5.