ATPS Algebra Lineal

instituto Anhanguera de Ensino Superior

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO INDUSTRIAL

ALGEBRA LINEAR

Professor:

joinville 04/12

Aplicação de álgebra linear no dia a dia

Podemos usar álgebra linear para programar computadores, processar imagens, estatística e muitos outros campos como:

Jogos de Estratégia: no jogo de roleta o jogador dá seu lance com uma aposta e o cassino responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino é determinado a partir destes dois movimentos. Estes são os ingredientes básicos de uma variedade de jogos que contêm elementos tanto de estratégia quanto de acaso. Os métodos matriciais podem ser usados para desenvolver estratégias otimizadas para os jogadores.

Redes Elétricas: circuitos elétricos que contenham somente resistências e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas lineares derivados das leis básicas da teoria de circuitos.

Genética: os mandatários do Egito antigo recorriam a casamentos entre irmãos para manter a pureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuou certos traços genéticos através de muitas gerações. A teoria das matrizes fornece um referencial matemático para examinar o problema geral da propagação de traços genéticos.

Crescimento Populacional por Faixa Etária: a configuração populacional futura pode ser projetada aplicando álgebra matricial às taxas, especificadas por faixas etárias, de nascimento e mortalidade da população. A evolução em longo prazo da população depende das características matemáticas de uma matriz de projeção que contém os parâmetros demográficos da população.

Tomografia Computadorizada: um dos principais avanços no diagnóstico médico é o desenvolvimento de métodos não invasivos para obter imagens de seções transversais do corpo humano, como a tomografia computadorizada e a ressonância magnética. Os métodos da Álgebra Linear podem ser usados para reconstruir imagens a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.

A aplicação da álgebra linear na engenharia química vem mostrando resultados exatos para os pesquisadores que desenvolvem projetos. Alcançando maior eficácia em seus experimentos práticos.

Exemplo:

Duas substancias distintas estão em contato e trocam íons de sódio entre si. Sabe-se (por dedução teórica, ou experimentação) que um íon de sódio do meio (1) tem probabilidade 0,7 de passar ao meio (2), enquanto que um íon de sódio esteja no meio (2) tem probabilidade 0,1 de passar ao meio (1). Colocando-se dois meios de sódio no meio (1), quais serão as concentrações de sódio em cada um dos meios, após um longo período de tempo?

Os estados deste processo são: o íon está no meio (1) e os íons estão no meio (2). A matriz de probabilidade de transição é:

Meio (1) Meio (2)

Meio (1) 0,3 0,1

Meio (2) 0,7 0,9

Sejam p1 e p2 as probabilidades de estar no meio (1) e (2), respectivamente. Então, inicialmente, quando todo o sódio foi colocado no meio (1), p1 (1) = 1 e p2 (1) = 0. Como a matriz de probabilidade é regular, em longo prazo as probabilidades não dependem das probabilidades iniciais, e devem satisfazer.

Resolvendo (lembrando sempre que p1 + p2 = 1) temos p1 = 1/8 e p2 = 7/8

Logo, as concentrações finais em cada meio são 1/8. 2 = 0,25 moles no meio (1).

e 7/8.2 = 1,75 moles no meio (2).

ETAPA 1

PASSO 1

Livros / Bibliografia:

* Callioli, C.A; Domingues, H.H.; Costa, R.C.F.; - Álgebra Linear e Aplicações; - 4a. Edição, São Paulo, Atual, 1983.

* Boldrini, J. L.; Costa, S.I.R.; Ribeiro; V. L. Wetzler, H.G.; - Álgebra Linear; - Harper-Row, São Paulo.

* Leon, Steven J; - Álgebra Linear com Aplicações; - 4ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

Escolha um para auxiliá-lo na resolução do desafio junto com o livro-texto: STEINBRUCH, F. Winterle, P. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 2ª Edição. São Paulo: Pearson Education, 2007.

* Callioli, C.A; Domingues, H.H.; Costa, R.C.F.; - Álgebra Linear e Aplicações; - 4 a. edição, São Paulo, Atual, 1983.

PASSO 2

Chama-se de Matriz de ordem 'mxn' aquela que tem m linhas e n colunas.

Por exemplo:

Uma matriz de ordem três tem três linha e três colunas

[0 1 2]

[3 4 5]

[6 7 8]

Principais tipos de matrizes:

Matriz retangular (m ≠ n)

Matriz quadrada (m = n)

Matriz linha (m = 1)

Matriz coluna (n = 1)

Matriz nula (todos os elementos valem 0)

Matriz diagonal, Matriz transposta, Matriz simétrica, Matriz triangular superior e inferior, Matriz Transpostas.

PASSO 3

Determinante de uma Matriz

A matriz e os determinantes não são encontrados apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, informática, tabelas financeiras etc.

Matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m e n, onde n ≥ 1 e m ≥ 1.

Para representar essas linhas e colunas devemos obedecer às regras, dependendo do número de linhas e colunas a matriz recebe um nome.

Determinante é um tipo de matriz,