Ap1 Matemática Financeira

1. (2,0 pontos) Em uma indústria, três máquinas A, B e C produzem 6.000 peças em um dia. A máquina A produz 1.000 peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz 2.000, das quais 4% são defeituosas. A máquina C produz 3.000 peças, das quais 2% são defeituosas. Da produção total de um dia desta indústria, uma peça é escolhida ao acaso:

a) Qual a probabilidade de ela ser defeituosa?

b) Sabendo que a peça escolhida não é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida

pela máquina B ?

2. (2,0 pontos) Resolva estes itens sobre análise combinatória:

a) (0,5) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A e terminando com I?

b) (1,0) Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser formadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

c) (0,5) Quantos números com três algarismos distintos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9?

3. (3,0 pontos) Uma empresa que fornece computadores pelos correios tem 6 linhas telefônicas. Seja X o número de linhas em uso em determinado horário. Suponha que a distribuição de X seja a seguinte:

x 0 1 2 3 4 5 6

p(x) 0,1 0,15 0,2 0,25 0,2 0,06 0,04

a) Qual a probabilidade de no máximo 3 linhas estarem em uso?

b) Qual a probabilidade de pelo menos 3 linhas estarem em uso?

c) Qual a probabilidade de entre 2 e 5 linhas, inclusive, estarem em uso?

d) Determine o número de linhas em uso esperado para este horário.

e) Qual a probabilidade de todas as linhas estarem em uso?

4. (1,0 ponto) Seja . Determine:

a) ;

b) .

5. (2,0 pontos). Um indivíduo que possui um seguro de automóvel de uma determinada empresa é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de infrações no trânsito nos quais o indivíduo foi reincidente nos últimos 3 anos. Y assume os valores 0, 1, 2 e 3 com probabilidades respectivas: 0,6, 0,25, 0,1 e 0,05.

a) Determine o número esperado de infrações;

b) Suponha que o indivíduo com Y infrações reincidentes incorra em multa de US$100Y2. Calcule o valor esperado da multa.

Solução:

1.

Como a máquina A produz 1.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina A é .

Como a máquina B produz 2.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina B é .

Como a máquina C produz 3.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina C é .

Seja D o evento: peça defeituosa. As probabilidades de encontrar uma peça defeituosa em cada máquina, respectivamente, são:

, e .

a)

Para a solução deste item, usamos o teorema da Probabilidade Total.

b)

Agora, precisamos trabalhar com peças não defeituosas.

Inicialmente, A probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente não ser defeituosa é o complementar de ela ser defeituosa. Assim,

.

Pela probabilidade condicional, a probabilidade de uma peça, sabendo que não é defeituosa, ter vindo da máquina B, é dada por:

Note que (as peças não defeituosas fabricadas por B).

Assim,

2.

a)

Fixando a primeira letra com A e a última com I, temos apenas as outras 7 letras BCDEFGH para permutar. Então são 7! = 5040.

Resposta: 5040.

b)

Neste caso, para cada grupo de 3 homens há todas as possibilidades de formação de grupos de 5 mulheres. Assim,

i)