Conceito derivado

O Conceito de Derivada.

- Objetivo:

Neste capítulo, trabalhando os conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea, você chegará ao conceito de derivada de uma função em um ponto e seu significado numérico e gráfico. Fique atento à derivada de uma função, pois trata-se de um dos conceitos mais importantes do cálculo diferencial integral. Neste capítulo, você terá contato com as primeiras aplicações da derivada na análise do comportamento local de uma função e, nos capítulos 8 e 9, você estudará inúmeras aplicações da derivada na análise geral de uma função e de modelos da economia, administração e contabilidade. O tópico Especial trará o estudo da linearidade local de uma função a partir da equação da reta tangente à curva em um ponto. Nesse tópico, você perceberá como a equação da reta tangente pode substituir a expressão de uma função em uma localidade determinada e como tal equação é útil para obter estimativas locais em fenômenos aplicados.

- Taxa de Variação:

Revisão de funções.

Função Afim (ou de 1° grau).

Uma função f:R→R chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tais que f(x) = ax + b, para todo x ∈ R.

Exemplos:

F(x) = 2x + 1; (a = 2, b = 1)

F(x) = -x + 4; (a = -1; b = 4)

F(x) = 1/3x + 5; (a = 1/3; b = 5)

F(x) = 4x; (a = 4; b = 0).

- Casos Particulares.

a) Função identidade.

f:R→R definida por f(x) = x para todo x ∈ R. Nesse caso, a = 1 e b = 0.

b) Função linear.

f:R→R definida por f(x) = ax para todo x ∈ R e a ≠ 0. Nesse caso, b = 0.

c) função constante.

f:R→R definida por f(x) = b para todo x ∈ R e a = 0.

- Taxa de variação.

Dados x ∈ R e x + h ∈ R, com h ≠ 0, o número a dado por:

a = (f(x+h) - f(x))/h é chamado de taxa de variação (ou taxa de crescimento) da função f(x) = ax + b no intervalo [x; x + h].

Ex.: Constate que a taxa de variação da função f(x) = 2x + 1 é 2.

Resolução:

f(x) = 2x + 1

f(x + h) = 2(x + h) + 1 = 2x + 2h + 1 (com h ≠ 0).

Assim:

f(x + h) – f(x) = 2x + 2h + 1 – 2x – 1= 2h

Logo, a = (f(x+h)- f(x))/h = 2h/h=2.

Fazer gráficos no Sistema Cartesiano Ortogonal.

Função afim, f(x) = 2x + 1

Função linear, f(x) = 3x

Função identidade, f(x) = x.

Função