Convergências De Series

CONVERGÊNCIAS DE SÉRIE DE TAYLOR

O enésimo polinômio de Taylor para uma função f em torno de x=xo tem a propriedade de que seu valor e os de suas n primeiras derivadas coincidem com aquelas de f em xo. Quando n cresce, cada vez mais derivadas vão coincidindo, portanto é razoável esperar que, para valores de x próximos de xo, os valores dos polinômios de Taylor devam convergir para o valor de f(x), isto é,

f(x) = lim┬(n→∞)⁡ ∑_(k=o)^n▒〖(f^k (x0))/k! (x-x0)^k 〗

Contudo, o enésimo polinômio de Taylor para f é a enésima soma parcial da série de Taylor para f, de modo que (1) é equivalente a afirmar que a série de Taylor para f converge no ponto x, e que a soma é f(x).

Se lim┬(n→∞)⁡〖Rn=0〗 para todo x no intervalo l, então a série de Taylor de f converge e é igual a f(x),

f(x)=∑_(n=0)^∞▒〖f(n)(c)/n! (x-c)^n 〗

Demonstração:

Para a série de Taylor a enésima soma parcial coincide com o enésimo polinômio de Taylor. Isto é s_(n (x) )=p_(n (x)). Além disso,

p_(n (x))= f(x) - R_(n (x))

Segue que

lim┬(n→∞)⁡〖Sn (x)〗 = lim┬(n→∞)⁡〖Pn (x)〗

= lim┬(n→∞)⁡〖[f(x)- Rn(x)]〗

= f(x) - lim┬(n→∞)⁡〖Rn (x)〗.

Assim para um dado x, a série de Taylor (a sequencia das somas parciais) converge para f(x) se e somente se R_(n )(x) 0 quando n∞.

EXEMPLOS:

Mostre que a série de Maclaurin f(x) = sen x converge para sen x para todo x.

Solução:

Usando o resultado do exemplo 1, você precisa mostrar que:

Sen x = x – (x^3)/3! + (x^5)/5! – (x^7)/7! + ... + ((-1)^n x^2n+1)/(2n+1)! + ...

É válida para todo x. Como

f^((n+1))(x) = ± sen x

 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Cálculo/Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis; tradução Claus Ivo Doering. – 8. Ed. – Porto Alegre: BOOKMAN, 2007.

Cáculo, volume 2/ Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards; revisão técnica Helena Maria de Ávila Castro, Orlando Stanley Juriaans. – São Paulo: McGraw-Hill, 2006.