Cálculo diferencial e integral

CAP´ıTULO 1

Introdu¸c˜ao

1. O que ´e o C´alculo

O C´alculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o C´alculo, ´e a matema´tica que est´a na base da ciˆencia de hoje. As ciˆencias mais desenvolvidas como F´ısica e Qu´ımica n˜ao podem expressar seus conceitos sem fazerem uso do C´alculo. Tamb´em a Economia e a Biologia cada vez mais s˜ao matematizadas atrav´es do C´alculo. O C´alculo foi fundamental na revolu¸c˜ao cient´ıfica dos s´eculos XVII e XVIII e de la´ para c´a n˜ao cessou de produzir resultados e aplica¸c˜oes. O C´alculo ´e uma teoria matem´atica, ou seja, um modo unificado de se ver uma s´erie de fatos matema´ticos. Na matema´tica, quando surge uma nova teoria, ao inv´es de se eliminar os resul- tados das teorias anteriores, o que a nova teoria faz ´e:

• reobter os teoremas at´e ent˜ao conhecidos, • dar generalizac¸˜oes deles, • produzir resultados completamente novos. Isso s´o ocorre em matema´tica: em outras ciˆencias uma nova teoria pode tornar obsoleta e errada a teoria anterior. Por exemplo, a determinac¸˜ao exata da ´Area de certas regio˜es, que com m´etodos elementares exigiu o gˆenio de Arquimedes, com o C´alculo vira uma continha de rotina. Mas atrav´es do C´alculo aparecem fatos novos e intrigantes sobre ´Areas, como o fato de regio˜es ilimitadas poderem ter ´Area finita. Al´em de nos permitir provar tudo que j´a ouvimos falar de matema´tica no col´egio, o C´alculo vai nos transformar em verdadeiros McGivers, ou seja, aquele personagem que com quase nada de recursos faz horrores de coisas, como aparelhos, armas, etc, e suas miss˜oes. Atrav´es do C´alculo , s´o com as quatro opera¸co˜es +,−, x vamos poder no Cap´ıtulo 30 aproximar com a precis˜ao que quisermos:

• fun¸c˜oes fundamentais como arctan(x),ln(x), etc • nu´meros como √p (p primo), π, e = exp(1). Uma das inspirac¸˜oes fundamentais para o C´alculo foi a F´ısica, ou F´ısica-matem´atica com a qual Isaac Newton revolucionou a ciˆencia da ´epoca. V´arios fenoˆmenos f´ısicos tiveram ent˜ao uma explica¸c˜ao completa e unificada, atrav´es das t´ecnicas do Ca´lculo. Essas t´ecnicas s´o ficar˜ao aparentes `a medida que o leitor entre na Segunda Parte do Curso, que ´e a parte de Equa¸c˜oes Diferenciais.

15

4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16

2. Sobre o Curso

Um alerta: este curso trata de matem´atica superior. Em va´rias universidades, inclusive a nossa, h´a uma a tentativa de se ensinar o Ca´lculo como se fosse uma continua¸c˜ao do Ensino M´edio, seu ensino sendo feito atrav´es de tabelas, regrinhas, macetes. Se refletimos um pouco, vemos que em alguns cursos como Farm´acia, Economia, Biologia, o C´alculo ´e uma das poucas disciplinas de matema´tica que ter˜ao na univer- sidade. Desse modo, imitando o Ensino M´edio, se cursaria um Curso Superior sem ter contato com a Matem´atica Superior. A formac¸˜ao cient´ıfica desses cursos ficaria prejudicada e de fato n˜ao poderiam chamar-se cursos universita´rios. Por isso neste Curso sempre que for poss´ıvel (exceto quando a explica¸c˜ao for t´ecnica demais) vamos tentar dar justifica¸c˜oes matem´aticas corretas, sem apelar para a credulidade do estudante