Desvio Padrao

Desvio padrão de uma variável aleatória

O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:

\operatorname {\sigma }={\sqrt {\operatorname {\sum }((X-\operatorname {\sum }(X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {\sum }(X^{2})-(\operatorname {\sum }(X))^{2}}}

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como: Para cada valor x_{i} calcula-se a diferença x_{i}-\overline {x} entre x_{i} e o valor médio \overline {x}. Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, n-1. Esta quantidade é a variância s^{2}. Tome a raiz quadrática deste resultado. O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula: s={\sqrt {{\frac {\sum x_{i}^{{2}}-{\frac {1}{n}}(\sum x_{i})^{{2}}}{n-1}}}}

onde \operatorname {\sum }(X) é o valor esperado de X.

Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinido.

Desvio padrão amostral[editar | editar código-fonte]

Se uma variável aleatória \operatorname {X} toma os valores \operatorname {x}_{1},\dots ,\operatorname {x}_{n}, então o desvio padrão para esta amostra de n números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de \operatorname {X}, \overline {x}, através de:

\overline {x}={\dfrac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:

s={\sqrt {{\dfrac {1}{n-1}}\sum _{{i=1}}^{n}(x_{i}-\overline {x})^{2}}}

A divisão por n-1 aparece quando exigimos que a variância amostral \operatorname {s}^{2} seja um estimador não tendencioso da variância populacional \operatorname {\sigma }^{2}.

Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:

s={\sqrt {{\dfrac {1}{(\sum _{{i=1}}^{k}{f_{i}})-1}}\sum _{{i=1}}^{k}((x_{i}-\overline {x})^{2}\times f_{i})}}

onde k é o número de observações diferentes.

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:

Para cada valor x_{i} calcula-se a diferença x_{i}-\overline {x} entre x_{i} e o valor médio \overline {x}.

Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.

Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças