Equação De Navier Stokes

Mecânica dos Fluidos

Parte 10

Equação de Navier Stokes

Mecânica dos Fluidos 2

1. Introdução

• As equações de Navier-Stokes são relações

fundamentais para o estudo do escoamento de

fluidos viscosos.

• As equações de Navier Stokes são equações

diferenciais que descrevem o escoamento

de fluidos. São derivadas parciais que permitem

determinar os campos de velocidade e

de pressão em um escoamento.

•

• Estas equações estabelecem que

mudanças no momento e aceleração de

uma partícula fluída são simplesmente o

produto (resultado) das mudanças na

pressão e forças viscosas dissipativas

(similar a fricção) atuando dentro do fluido.

• Esta força viscosa se origina na interação

molecular e atua no escoamento do fluido.

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• O deslizamento em geral ocorre para altos

valores de tensão;

• Ângulo de contato: ângulo entre a

interface gás/líquido e uma superfície

sólida

Figura 1. Relação da Tensão de escoamento fluído/superfície. 4

2. Aplicações

• Modelagem das condições climáticas;

• Modelagem dos fluxos da água em oceanos,

estuários, lagos e rios;

• Avaliação do fluxo de massa em veículos de

transporte ( aerofólios/asas de automóveis e de

aviões);

• Projeto de usinas hidrelétricas, na análise dos

efeitos da poluição hídrica em rios, mares,

lagos, oceanos e da dispersão de poluentes na

atmosfera.

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Teste do túnel de vento (aerodinâmica)

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• Forças agindo na interface: pressão e tensão

agindo nas faces (proporcionais à área da

interface) nas bordas do elemento de superfície.

9 Figura 2. Tensão de escoamento em uma superfície.

3. Teoria de Navier-Stokes

• A teoria do escoamento viscoso foi

disponibilizada, depois que Navier (1785-

1836) e Stokes (1819-1903)

acrescentaram com sucesso os termos

viscosos newtonianos às equações do

movimento.

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• A teoria do escoamento viscoso foi

disponibilizada, depois que Navier (1785-1836)

e Stokes (1819-1903) acrescentaram com

sucesso os termos viscosos newtonianos às

equações do movimento.

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• O conceito de derivada substancial pode ser

explicado com auxílio de um exemplo que usa

uma grandeza escalar (temperatura, neste

caso):

• Seja um corpo aquecido, que é deixado em

repouso num ambiente calmo.

• Nessa condição, a temperatura deverá ser

apenas função do tempo T(t).

• Se esse corpo for arremessado em uma

direção qualquer na atmosfera, a

temperatura irá depender do tempo e das

coordenadas físicas, uma vez que a

temperatura da atmosfera varia de acordo

com a posição.

• Assim, a função será T(t, x, y, z).

• Uma variação de temperatura do corpo

pode então ser dada pela soma das

contribuições individuais: 14

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ΔT = ΔTt + ΔTx + ΔTy + ΔTz (01)

Multiplicando e dividindo cada parcela:

(02)

Considera-se o limite da variação de temperatura

em relação ao tempo:

(03)

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No lado direito da igualdade acima, as frações que

antecedem as variações em relação a x, y e z são os

componentes da velocidade u do corpo, isto é, ux, uy e

uz.

Substituindo as variáveis, tem-se então a derivada

substancial da grandeza T, simbolizada conforme se

segue.

(04)

No lado direito da relação acima, a primeira parcela

indica a variação que ocorreria na ausência