Equação de Navier-Stokes

Contextualização

As equações de Navier – Stokes foram derivadas inicialmente em 1827 por M.Navier e em 1945 por G. G. Stokes. Suas derivações foram baseadas na hipótese que as tensões normais e cisalhantes são funções lineares da taxa de deformação conforme a lei de Newton da Viscosidade.

        A figura 1 ilustra a cascata de modelos da dinâmica dos fluidos e a aplicação de suas equações.

Figura 1

[pic 1]

Quando de desconsidera o efeito da viscosidade, as tensões tangenciais desaparecem, ficando as tensões normais, nestas condições às equações da quantidade de movimento de Navier – Stokes transforma-se nas equações de Euler.

Para aplicação das equações de Euler, as hipóteses são a não compressão e a desconsideração da viscosidade do fluido. Com base nestas hipóteses, conforme equação (1), obtém a equação de Euler derivada em 1755. E da equação de Euler, chega-se a na equação da Bernoulli.

Equação de Euler

                           

[pic 2]

    Equação (1)

Se considerado o campo gravitacional, a equação de Eule pode ser modificada passando ser : g = − g. grad h  (onde –g é aceleração da gravidade). E ao efetuar - se certo movimento algébrico, obtem-se:

[pic 3]

Tratando de coordenadas cartesianas,ao desenvolver as expressões acima obtém-se:

Na direção X [pic 4]

Na direção Y [pic 5]

Na direção Z [pic 6]

 Equações de Navier-Stokes

        As equações de transporte de quantidade de movimento aplicam-se a qualquer classe de fluidos desde que seja especificada uma equação constitutiva para o fluido. As equações de Navier-Stokes são obtidas a partir da substituição da equação constitutiva para fluido Newtoniano, A forma mais geral da Equação de Navier-Stokes é mostrada na Eq. (2). Ela aplica-se para escoamentos com propriedades físicas variáveis, isto é, ρ e μ podem variar em todo o campo do escoamento,

        [pic 7].        

                Equação (2)

Este modelo constitui um dos maiores sucessos da mecânica dos fluidos, baseados princípios físicos e fundamentais que vêm sendo estudada, testada e aplicada nos mais diversos fenômenos físicos que envolvem transporte de fluidos por mais de um século sem haver sido contestada.