OSCILADOR MASSA-MOLA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI

CAMPUS ALTO PARAOPEBA

ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES

FENÔMENOS TÉRMICOS, ONDULATÓRIOS E FLUÍDOS

OSCILADOR MASSA-MOLA

Prof. Marcelo Martins

Ouro Branco

14 de outubro de 2014

INTRODUÇÃO

Para total compreensão do experimento descrito a seguir, deve-se estabelecer alguns conceitos, como o referente ao MHS (movimento harmônico simples) que é um movimento que ocorre de modo periódico ou cíclico. O MSH também pode ser descrito como o movimento de oscilação mais elementar, e pode ser observado em qualquer sistema em equilíbrio estável que subitamente tem sua situação perturbada, passando a executar um movimento periódico, cíclico ou oscilatório, sendo o último o termo mais usado para designar esse tipo de situação.

Nesse experimento o objetivo de estudo é um sistema massa-mola, composto idealmente por um corpo de massa m fixo a uma mola de massa desprezível e constante elástica k. Quando a mola comprimida ou distendida, para pequenos deslocamentos, o corpo oscila periodicamente em torno da posição de equilíbrio regido pela força restauradora exercida pela mola, a saber F(x)=-kx, denominada Lei de Hooke, na qual x é o deslocamento em relação a posição de equilíbrio causado pelo peso do corpo de massa m. A força recebe um sinal de negativo por ser uma força restauradora, ou seja, aquela que tende a fazer com que o sistema volte a sua posição original. Introduzindo a força citada na Segunda Lei de Newton, F(x)=m(d2x/dt2), obtém-se a equação de movimento do sistema:

("d" ^"2" "x" )/("d" "t" ^"2" ) "+kx=0" (1)

Cuja solução é dada na forma x(t)=Acos(ωt+φ), na qual ω=√("k/m" ) é a frequência angular de oscilação, enquanto a amplitude A e a constante de fase φ são determinadas pelas condições iniciais. A equação (1), entretanto, não é totalmente satisfatória pois não permite prever o movimento, assim, utiliza-se a equação x(t), uma vez que as funções trigonométricas apresentam, como característica fundamental, a descrição de oscilações. O período T é dado por:

T=2π√("m" /"k" ) (2)

Com base na equação (1) e em sua solução, pode-se escrever a força resultante sobre o objeto como

F(t)=-Fo cos(ωt+φ) (3)

em que Fo=mω2A é a amplitude da força, sendo que, substituindo a frequência angular (ω), pode-se perceber que Fo é a força elástica na mola em sua posição de equilíbrio.

Uma vez que o objeto está preso a uma mola vertical, existe uma força (mg) para baixo, adicionada à força da mola. Entretendo, é possível provar que a mesma equação de movimento continua valendo para oscilações em torno de um novo ponto de equilíbrio, já que a força gravitacional pode ser considerada constante.

Tendo a direção vertical para baixo como o sentido positivo da direção x, então a força resultante no objeto será

∑▒"Fx=-kx+mg" (4)

esta equação pode ser simplificada pela mudança para uma nova variável x’=x-xo, na qual xo=mg/k corresponde ao comprimento alongado da mola quando o objeto está em equilíbrio. Substituindo na equação (4), tem-se:

∑▒〖"Fx=-k" (x^'+x_o ")+mg" 〗 (5)

e como kxo=mg, então

∑▒〖"Fx=-k" x〗 (6)

Introduzindo esta na segunda Lei de Newton (Fx=max), obtém-se:

-kx’=m("d" ^"2" "x" )/("d" "t" ^"2" ) (7)

Entretanto, x=x’-xo, onde xo=mg/k é uma constante. Dessa forma d2x/dt2=d2x/dt2, assim:

-kx=m("d" ^"2" "x" )/("d" "t" ^"2" ) (8)

Rearranjando, obtém-se:

m("d" ^"2" "x" )/("d" "t" ^"2" ) = -("k" /"m" )"x'" (9)

que é a mesma equação apresentada em (1), com x’ no lugar de x.

Assim, o efeito da força gravitacional (mg) é meramente de mudar a posição de equilíbrio x=0 para x’=0. Quando o objeto é deslocado de sua posição de equilíbrio para x’, a força resultante passa a ser –kx’. O objeto, então, oscila em torno de sua posição de equilíbrio com uma frequência angular ω=√("k/m" ), a mesma frequência angular de um corpo preso a uma mola horizontal.

 

OBJETIVOS

Verificar experimentalmente o comportamento do oscilador massa-mola.

Obter o valor da constante da mola.

Obter uma equação para o movimento na vertical do oscilador massa-mola considerando a presença da força da gravidade.

Comparar o movimento observado a um modelo matemático do movimento harmônico simples e movimento harmônico simples amortecido.

EQUIPAMENTOS

Oscilador massa mola

Computador

Régua

Software de interface

Sensor de posição

Aba de papelão

 

PROCEDIMENTO

Com o objetivo de observar o comportamento e um oscilador massa-mola e a partir disso calcular o valor da constante da mola foi utilizado uma montagem com o oscilador na posição vertical diretamente acima de um sensor de posição e quatro massas diferentes. Para a primeira parte do experimento foram utilizadas