Sistemas Numéricos Na História Da Matematica

UA: História da Matemática

AD 1 - Data de entrega: 11/05/2014

Acadêmico: Gabriel Oscar Cremona Parma. ID: 378.471

Desenvolvimento das atividades para a AD3

Primeira questão da atividade:

Esta questão tem o objetivo de levar você por todas as unidades estudadas e escolher um matemático das Unidades que discutiram a Álgebra e Estatística e apresentar as principais contribuições no desenvolvimento do conhecimento matemático.

O matemático selecionado para este trabalho foi Carl Friedrich Gauss. Podemos citar, como rápida bibliografia do cientista :

Matemático, astrônomo e físico alemão, criador da geometria diferencial. Nasceu no 30/04/1777, em Brunswich e morreu 23/021855, em Göttingen, na Alemanha. Uns dos maiores cientista alemão, Carl Friedrich Gauss (Nome original: Johann Friedrich Carl Gauss) estudou na Universidade de Göttingen de 1795 a 1798, onde ensino Matemática desde 1807, ao mesmo tempo que foi Diretor do Observatório Astronômico da Universidade. Manteve essas posições até à sua morte. Dedicou-se à matemática, à astronomia, à geodesia, à física-matemática e à geometria. Deixo grandes legados nos domínios da astronomia, da física e da matemática.

Sem querer ser totalmente exaustivo, mencionar-se-á neste trabalhos alguns dos fatos e feitos mais conhecidos e/ou importantes desenvolvidos durante a sua frutífera vida como cientista.

Naquelas áreas indicadas na rápida bibliografia, Gauss demonstrou o denominada “Teorema fundamental da álgebra”, a qual define que uma equação tem tantas raízes como indicado pelo seu grau; para as observações astronômicas desenvolveu o “método dos mínimos quadrados”, método pelo qual conseguiu calcular em pouco tempo, com poucas observações e com grande exatidão, as órbitas dos corpos celestes; criou as chamadas “coordenadas geodésicas de Gauss”, as que se utilizam para a determinação de um ponto sobre a superfície da Terra; Também definiu a chamada “curva normal de Gauss”, mediante a qual é possível representar medidas prováveis da Estatística; também desenvolveu o método de “eliminação de Gauss”, que se utiliza para resolver sistemas de equações lineares; e definiu o “plano de Gauss”, que é o plano de representação dos números complexos; dentre seus logros mais sobressalientes; ainda que esta seja uma lista –muito- incompleta deles..

Aos sete anos deduz, sozinho e na frente de seu professor, a propriedade da simetria das progressões aritmética, derivando a fórmula para uma progressão aritmética arbitraria.

Dentre outras façanhas, a chamada “fórmula de Gauss” para o cálculo da área interna de um polígono de n lados trabalhando exclusivamente com as coordenadas dos n vértices, apenas quando tinha 15 anos de idade. Nessa mesma época estuda a distribuição dos números primos e a sua relação com os logaritmos.

Em 1791, Gauss começou a sua investigação dos meios aritmético-geométricos e em 1792, aos quinze anos, havia iniciado seus estudos dos fundamentos da Geometria Euclidiana. Já interessado no quinto axioma das paralelas; suas ideias, amadurecidas com o tempo, deram origem à Geometria Não-Euclidiana. Respeito do axioma das paralelas, ao longo dos anos, nos seus escritos, é possível verificar a sua certeza em relação ao fato de o Quinto Postulado de Euclides não ser demonstrável.

Em 1794 deduz o Método dos Mínimos Quadrados, tendo também estudado como trabalhar com os erros das observações, o que mais tarde o levaram à curva Gaussiana dos erros e a postular a Teoria dos Erros, hoje fundamental nas ciências que trabalham com observações e medições. O seu método indutivo permitiu um das suas maiores descobertas com o “Teorema Fundamental dos Resíduos Quadráticos”, em 1795, ao que chamou de “Theorema aureum”.

Em 1796, aos 19 anos e cursando o primeiro ano universitário, publica o seu primeiro trabalho sobre o polígono regular de 17 lados, no jornal científico da própria Universidade de Göttingen. Este é o fato que provoca, de um instante para outro, Gauss ser um famoso entre os Matemáticos. O trabalho envolve a construção do polígono regular de 17 lados usando apenas "as ferramentas de Euclides", como são a régua e o compasso, no intuito de continuar com a geometria, onde Euclides tinha se detido.

No seu diário pessoal, Gauss, faz relação a muitas descobertas (146 sintéticos registros) que nunca tinha publicado ou desenvolvido totalmente, porem são descobertas da própria genialidade de Gauss: entre os 18 e 24 anos, podem ser datadas 121 desses postulados, dos quais muitos ficaram na reservas daquelas anotações até que no “Jornal de Gauss”, fundado em 1898 pela própria Universidade, são reveladas e permitem seguir o fio das grandes descobertas da álgebra e da Análise e teoria dos números.

O Mesmo Jornal revela o “grito triunfante” de Gauss logo de sua melhor e mais bela descoberta (propriedades das funções modelares elípticas): “Felicitas Nobis est facta” ou “fuí bem sucedido” numa tradução livre; equivalente gaussiano do grito de “Eureka” de Arquimedes.

Em 1799, Gauss foi graduado Doutor em Filosofia pela Universidade de Helmstedt, e sua tese, publicada nesse mesmo ano, “Uma nova demonstração de que todos os polinómios de uma variável podem ser fatorizados em fatores reais de primeiro e segundo grau” é uma demonstração do teorema fundamental da Álgebra.

O Teorema Fundamental da Álgebra pode se enunciar da seguinte forma: “Toda a equação polinomial tem pelo menos uma raiz”; assim, o fato de uma equação polinomial de grau n ter sempre n raízes é simplesmente um corolário natural dele.

As diferentes demonstrações deste teorema são as contribuições mais importantes que Gauss deu como representante do rigor lógico nos métodos demonstrativos. Este teorema tem grande significado em Álgebra e na Teoria de Funções, assim, ele influencia ambas as áreas.

As mais ricas ideias de Gauss na sua “era de ouro” (anos dentre 1795 á 1801) foram, maioritariamente, publicadas em Leipzig (1801) no seu trabalho “Disquisitiones Arithmeticae” o qual está dividido em sete partes: Congruências em geral; Congruências de primeiro grau; Resto de Potências; Congruências de segundo grau; Formas quadráticas; Aplicações; e, Divisões do círculo.

Nesse livro trata das congruências numéricas (ampliação das igualdades); do teorema fundamental da aritmética; do máximo comum divisor e do mínimo comum múltiplo; do resto quadrático de um número; e, da reciprocidade