Trabalho E Energia

1 - Que intensidade de força (aplicada pelo chão) atua sobre os pés de uma pessoa de 70 kg quando ela salta de uma mesa de 1 m de altura?

Solução

Esse tipo de questão tem aparecido freqüentemente na seção de Dúvidas do Feira de Ciências. É difícil fazer tais consulentes entenderem que, como foram propostos --- fornecem apenas a massa do corpo e a altura de queda livre ---, 'faltam dados' para a sua solução.

Vamos encaminhar este problema de três modos diferentes, deixando bem claro a simplicidade do segundo método, o da energia (em cada modo, destacamos a necessidade do dado 'extra' para a solução da questão).

Primeiro método: O diagrama (v,t) acima, mostra que a velocidade da pessoa cresce de zero até um certo valor v . A área do triângulo OAB (que como sabemos mede o 'espaço percorrido' pelo móvel) é numericamente igual a 1 m; assim,

Área = v.(v/g)/2 = v2/(2g) = 1 , portanto, v = (2g)1/2 = 2 x 51/2 m/s = 4,47 m/s

Assim, a pessoa chega ao chão com a velocidade de 4,47 m/s. Obviamente esse resultado poderia ser obtido por outras vias, por exemplo: y = (1/2).g.t2 = 5.t2 e v = dy/dt = g.t = 10.t ou v2 = 2gy (Torricelli).

A força que o solo exerce sobre os pés da pessoa vai reduzir esta velocidade a zero. Suponhamos (atenção ao dado 'extra') que a distância disponível para atuação da força seja somente da ordem de 2 x 10-2 m (grossura da sola dos sapatos da pessoa).

Graficamente, teremos o seguinte novo diagrama nessa fase de frenagem

Agora a área do triângulo OBC é numericamente igual a 2x10-2m;

assim: (1/2)x2x51/2x2x51/2/a = 2x101/2 ou 4x5/(2a) = 2.10-2 m e

portanto, a = 5,0.102 m/s2 é a desaceleração nessa fase.

A intensidade de força capaz de causar essa desaceleração é:

F = ma = 70 x 5,0x102 = 3,5x104 N ou ~= 3,5x103 kgf .

Dessa maneira, a intensidade da força será da ordem de 3,5 toneladas-força.

Segundo método: Conservação da energia

A força gravitacional, sendo conservativa, permite escrever, DEpot. + DEcin. = 0 , representando por Ecin. a energia cinética da pessoa e por Epot. a energia potencial gravitacional do sistema pessoa + terra. Então, (atenção ao dado 'extra') usando o dado 'extra' posto no primeiro método, Dx = 2x10-2m, temos:

(0 - mgh) + DEcin.=0

DEcin.= mgh = WF = F.Dx

F = mgh/Dx = 70 x 10 x 1/(2x10-2) = 3,5x104 N

F ~= 3,5 toneladas-força

Terceiro método: Desta vez nos utilizaremos do 'teorema do impulso'; Fm.Dt = m.Dv ou, em valores absolutos, Fm.Dt = mv , uma vez que a velocidade final da pessoa é Zero. Estamos aqui indicando com Fm a intensidade da força média que age nos pés da pessoa desde o instante do toque no solo (onde chega com velocidade v), até parar (velocidade final Zero) e, estamos indicando com Dt o intervalo de tempo que a pessoa leva para parar a contar do instante que toca o solo com velocidade v (eis aqui a necessidade do dado 'extra').

Como sabemos, a pessoa para não quebrar a espinha dobra os joelhos e calcanhares para aumentar o Dt e diminuir a intensidade desta força,