Projeto Relacionando Matemática com Biociência (EDO SI HIV)

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Universidade Federal de São Carlos

Bacharelado em Ciências Biológicas

Campus Sorocaba

Projeto relacionando Matemática com Biociência

Disciplina: Matemática para Biocientistas

Professor: Draº Magda Peixoto

1. Introdução

O HIV (vírus da imunodeficiência humana) é um retrovírus, pertencente ao gênero Lentivirus, da subfamilia Orthoretrovirinae, que se multiplica no organismo utilizando o mecanismo celular para, por meio da transcriptase reversa, reproduzir sua própria sequência de DNA. O vírus do HIV foi inicialmente descrito em 1981 [1; 2], possivelmente uma variação do SIV (Simian Immunodeficiency Virus), e se tornou imediatamente uma preocupação mundial, apesar de haverem indícios de contaminações durante a década de 60 ou mesmo anteriores [3]. O HIV é o transmissor da síndrome da imunodeficiência adquirida (AIDS - Acquired ImmunoDeficiency Syndrome), atacando as células do sistema imune do corpo humano (leucócitos), principalmente os linfócitos T, a partir dos complexos proteicos CD4-CCR5 das membranas celulares, e atua multiplicando-se ao alterar o DNA presente nestas células fazendo com que o organismo torne-se deficiente e desta forma, vulnerável a diversas doenças, podendo inclusive apagar parcialmente a memória imunológica do hospedeiro [4]. Dessa forma, ainda que a AIDS não leve, em si, à morte do paciente, esta pode ocorrer devido a uma variedade de infecções desde doenças simples como a gripe a doenças graves como a tuberculose. Assim, a AIDS é considerada uma doença que, sem tratamento, é 100% letal, mesmo que não constitua a causa mortis [1].

O contágio do vírus é dado por meio de troca de fluidos corporais entre um indivíduo contaminado e outro sadio, através de secreções durante relações sexuais sem o uso de preservativos, uso compartilhado de seringas ou utensílios semelhantes, ou de

mãe para filho durante gravidez e amamentação, por exemplo. Recentemente, Cuba anunciou um novo tratamento que conseguiu erradicar a transmissão vertical do HIV, isso é, de mãe pra filho [5]. O grupo com o maior número de infectados compreende os indivíduos na faixa etária entre 19 e 40 anos.

O uso de modelos matemáticos para entender o comportamento e prever a propagação

de uma determinada doença infecciosa, capazes de determinar a progressão de indivíduos atingidos por tal doença, para então ser possível controlá-la com medidas cabíveis, têm sido amplamente utilizados em processos sanitaristas e epidemiológicos [6]. Nestes modelos matemáticos, levam-se em conta os componentes essenciais para o estudo da determinada doença, desconsiderando componentes menos essenciais.

Portanto, num estudo epidemiológico, o problema alvo tratado é a descrição da evolução temporal do número de indivíduos infectados em uma determinada população, o número de suscetíveis e, dependendo do objeto de estudo, relações secundárias entre os suscetíveis e infectados (reinfecção, resistência ou propensão adquirida, morte, etc). Com isso, é possível prever a propagação da doença em função do tempo [7].

1. Objetivo

Este trabalho tem por objetivo demonstrar a importância que um modelo compartimental por EDO (Equação Diferencial Ordinária) não linear tem para estudos epidemiológicos, utilizando como exemplo o caso da AIDS. O entendimento do comportamento de epidemias e importante pois possibilita ações e planejamentos preventivos e de resposta contra as doenças, permitindo aos órgãos competentes tomarem medidas para prevenir e remediar as mesmas antes que se alastrem pela população.

1. Descrição do Problema

A AIDS ele uma doença altamente infecciosa, mas cuja propagação está intimamente ligada à falta de acesso a informações, uma vez que sua prevenção é relativamente fácil. Em uma situação modelo, um indivíduo contaminado infecta um único parceiro, excluindo-se a ocorrência da imunidade genética pela mutação delta-32 do complexo CCR5 [4] e a transmissão vertical para a prole, erradicada graças a avanços médicos, como discutido anteriormente. A chance de um indivíduo sadio ser contaminado em um modelo simplificado será, portanto, proporcional à chance de um dos parceiros serem do grupo infectado.

A equação geral será apresentada neste trabalho, assim como uma situação hipotética de teste para esta doença utilizando o modelo de EDO apresentado.

1. Metodologia

Sabendo que o HIV é um vírus sexualmente transmissível, há contato entre indivíduos e, logo, é possível se utilizar para o estudo de modelo compartimental.

Para o caso da AIDS, utilizaremos o modelo compartimental SI (Suscetível-Infectados), no qual não leva em conta as taxas de natalidade de mortalidade (por causa natural ou em decorrer da doença). Também não apresenta taxas de recuperação e imunização, já que a AIDS é uma doença que, até o momento, não possui cura ou vacina. Assim sendo, apesar de simples, é um modelo que reflete com acuidade razoável o comportamento da doença estudada.

Dito isso, tem-se o seguinte modelo SI:

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No qual S indica a quantidade de indivíduos suscetíveis a doença no instante t, enquanto I indica a quantidade de indivíduos infectados no instante t.

Já a variável "a" representa a taxa de infecção da doença, ou seja, sua facilidade em se propagar pela população. Sabendo que a taxa de infecção da AIDS é de 0,5%, baseados na proporção infectada da população mundial [8], é possível determinar o seguinte:

O modelo compartimental:

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Usa-se o sistema com duas equações, já que se tem duas variáveis (S e I):