A UNIVERSIDADE FEDERAL DO AGRESTE DE PERNAMBUCO

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2 a Lista de Exerc´ıcios de C´alculo 2

1. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite n˜ao existe.

 (a) lim (x,y)→(0,0) [ xy p x 2 + y 2 ]

 (b) lim (x,y)→(1,0) [sin(xy)(x 3 y − 7xy5 )]

(c) lim (x,y)→(0,0) [ xy2 x 2 + y 4 ]

(d) lim (x,y)→(0,0) [ 3x 2y x 2 + y 2 ]

(e) lim (x,y)→( π 2 ,0) [(y 2 + 3) ln(sin(x))]

(f) lim (x,y)→(0,0) x 2 + sin2 y 2x 2 + y 2 (g) lim (x,y)→(0,0) x 4 − y 4 x 2 + y 2

(h) lim (x,y)→(0,0) xy4 x 2 + y 8

(i) lim (x,y)→(0,0) x 2 sin2 y x 2 + 2y 2

2. Determine o gradiente de cada fun¸c˜ao a seguir no ponto especificado.

(a) f(x, y) = y ln x , P = (1, −3)

(b) f(x, y) = x 2y 3 cos xy , P = (1, π)

(c) f(x, y) = xex 3y 2 , P = (1, 0).

(d) f(x, y) = p x 2 + y 3 , P = (2, 2).

3. Encontre zt e zs em cada caso.

 (a) z = x 2y + 3xy4 , x = sin(2t) , y = cost.

(b) z = cos(x + 4y) , x = 5t 4 , y = 1 t .

(c) z = x 2y+y 2x xy−3 , x = s + t , y = st.

(d) z = e x cos y , x = st2 , y = s 2 t. 1

(e) z = e xy sec y , x = s + 3t , y = s/t.

4. A press˜ao P (em kilopascals), o volume V (em litros)e a temperatura T (em kelvins) de um mol de um g´as ideal relacionam-se pela equa¸c˜ao P V = 8, 31T. Determine a taxa de varia¸c˜ao da press˜ao, com rela¸c˜ao ao tempo, quando a temperatura ´e de 300K e est´a aumentando com uma taxa de 0, 1K/s e o volume ´e de 100l e est´a aumentando a uma taxa de 0, 2l/s. 5. Escreva uma equa¸c˜ao do plano tangente a cada superf´ıcie dada, no ponto especificado.

(a) z = e x ln y , P = (1, 1, 0)

(b) z = cos(x + y) , P = (π, π, 1)

(c) z = x 3 tan(xy) , P = (1, 0, 0)

(d) z = 2x 2 + y 2 , P = (1, 1, 3)

(e) z = x sin(x + y) , P = (−1, 1, 0)

(f) z = 3(x − 1)2 + 2(y + 3)2 + 7 , P = (2, −2, 12)

6. Encontre a derivada de cada fun¸c˜ao dada, na dire¸c˜ao do vetor especificado.

(a) f(x, y) = x 3 e xy , −→v = (0, 1)

(b) f(x, y) = 3 + √ x + y , −→v = (2, 1)

(c) f(x, y) = xey , no ponto P = (2, 0), na dire¸c˜ao de P a Q = ( 1 2 , 2)

7. Encontre os pontos de m´aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela (caso existam!) de cada fun¸c˜ao a seguir.

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