As Leis de Kepler

Estudo das Leis de Kepler Através do Programa Newtoniano

2016

Resumo As leis de Kepler descrevem o comportamento das órbitas e a mecânica newtoniana descreve o comportamento dos corpos em geral. Nesta tarefa exploramos as leis de Kepler através do programa newtoniano.  Aplicamos a segunda Lei de Newton, combinada às propriedades das secções cônicas, para obter as três Leis de Kepler. As propriedades das cônicas estão descritas no apêndice, assim como uma seção sobre alguns corpos celestes, e suas respectivas órbitas, do sistema solar

Introdução

O movimento dos corpos celestes sempre atraíram a curiosidade da humanidade, que elabora explicações para a mecânica celeste desde o início da história. Johannes Kepler em 1589, após extensivo estudo das posições de planetas do sistema solar, elaborou três leis matemáticas que representavam e previam esses movimentos: são as chamadas Leis de Kepler. Algum tempo depois, Newton definiu as leis da gravitação universal, explicando que o cair dos objetos na Terra e o movimento dos corpos celestes são causados pelo mesmo fenômeno. O objetivo deste estudo é derivar as Leis de Kepler a partir do programa Newtoniano.

Discussão

Primeira lei de Kepler

 "Todos os planetas se movem em órbitas elípticas tendo o Sol como um dos focos."

Começaremos nossa demonstração da primeira lei estudando o sistema terra sol. É importante ressaltar que a origem do espaço foi colocada na posição do sol, que se encontra muito próximo ao centro de massa do sistema, já que a massa da terra é muito menor que a do sol. Observe a representação abaixo na qual temos a força gravitacional entre terra e sol e o vetor posição da terra.

[pic 1][pic 2]

Figura 1- Sistema terra sol - Feito em compilador

Note que os dois vetores posição e força são antiparalelos (). Deste modo, temos que o toque é nulo, já que o produto vetorial entre esses dois vetores é 0.     [pic 3]

[pic 4]

em que  , que é a força gravitacional definida por Newton.[pic 5]

Sabendo se que o torque é a taxa de variação temporal do momento angular e que o torque é nulo, podemos concluir que o momento angular é constante. Verificando o sistema temos que seu vetor posição, velocidade e aceleração são respectivamente:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Como a força gravitacional é a força resultante, já que é a única força atuante no sistema, aplicamos a segunda lei de Newton:

[pic 9]

[pic 10]

Note que só utilizamos a componente radial na igualdade acima já que a componente tangencial () da aceleração da força gravitacional é nula, pois a força gravitacional está sempre paralela ao versor radial durante todo o percurso.[pic 11]

Desenvolvendo a equação (1.5) chegaremos à seguinte igualdade:

[pic 12]

Note que a equação (1.6) representa uma equação diferencial ordinária de ordem 2.

Junto a isso, temos que o momento angular, e seu respectivo módulo, são dados por:

[pic 13]

[pic 14]

Sendo assim, isolando :[pic 15]

[pic 16]

Substituindo o encontrado na equação (1.8) em (1.6) temos a seguinte EDO:

[pic 17]

Para facilitar nossos cálculos chamaremos, de modo, [pic 18][pic 19]

A partir da equação (1.8) também podemos obter que:

[pic 20]

Logo, substituindo (1.12) em (1.11) chegaremos a:

[pic 21]

Em conseguinte temos que a partir da equação (11),[pic 22]

[pic 23]

Derivando-o de modo a obtermos a equação de [pic 24]

[pic 25]

Para organizar nossos cálculos desenvolvendo cada termo do lado direito desta igualdade separadamente:

[pic 26]

[pic 27]

Somando (1.16) e (1.17) de modo a obtermos, de fato, a expressão de :[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Substituindo o encontrado em (1.18) na equação (1.9), obtemos:

[pic 31]

Dividindo toda a equação por -  para isolarmos  e resolvermos a seguinte EDO:[pic 32][pic 33]

[pic 34]

Resolvendo esta EDO obtemos:

[pic 35]

Como , temos que:[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Chamaremos a excentricidade () de:[pic 39]

[pic 40]

Deste modo, substituindo-a na equação (1.22):

[pic 41]

A equação (1.24) descreve a trajetória dos corpos celestes. Como mostrado no apêndice, se a excentricidade for  , a órbita será de fato uma elipse tendo o Sol em um dos focos, como propõe a primeira Lei de Kepler.[pic 42]

Segunda lei de Kepler

“A taxa de formação da área definida pela trajetória, pelos vetores que unem os centros de massa do Sol e do planeta e um vetor fixo de referência é constante no tempo"

Na imagem abaixo vemos um sistema Terra-Sol. Nele mostra um deslocamento  da terra em um período  qualquer:[pic 43][pic 44]

[pic 45]

2- SISTEMA TERRA SOL- Imagem feita por compilador

A partir das propriedades de produto vetoriais já estudados anteriormente, vemos que a área do triângulo A destacado na figura acima é metade do módulo produto vetorial dos vetores Desta forma temos que:[pic 46]

[pic 47]

Sendo assim a área do triângulo é dada por:

[pic 48]

Adjacente a isso, temos que a variação da área percorrida em função do tempo é dada por:

[pic 49]

Fazendo um limite, na qual o  tende a zero, temos:[pic 50]

[pic 51]

Ou seja, teremos com o desenvolvimento desse limite que :[pic 52]

[pic 53]

Dividindo e multiplicando por  o lado direito da igualdade podemos a reescrevê-la como:[pic 54]

[pic 55]

Como já sabemos que o momento linear é o produto entre massa e velocidade, podemos reescrever a variação da área em função do tempo como:

[pic 56]

Como momento angular é dado por:

[pic 57]

Logo, podemos substituir (2.8) em (2.7):

[pic 58]

Como já explorado na primeira lei que não há variação do momento angular, ou seja  constante, e também sabendo massa  é igualmente constante ao longo do tempo, a variação da área em função do tempo é constante.[pic 59][pic 60]