A CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ANA LUIZA SANTOS DE ALMEIDA MAGALHÃES

ANA PAULA DE LIMA

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

CURITIBA, ABRIL DE 2015

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ANA LUIZA SANTOS DE ALMEIDA MAGALHÃES

ANA PAULA DE LIMA

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Trabalho de ao curso de Licenciatura em Matemática, da UTFPR, como requisito de formação de nota na disciplina de Geometria 1, ministrada pela professora Luciana.

CURITIBA, ABRIL DE 2015

1. AXIOMA

Se dois triângulos ABC e EDF são tais que AB ≡ ED, AC ≡ EF e  ≡ Ê então ABC ≡ EDF. Este axioma é chamado primeiro caso de congruência de triângulos ou, simplesmente, caso LAL (lado/ângulo/lado).

1. CASO DE CONGRUÊNCIA LLL

1. TEOREMA

Dois triângulos são congruentes se possuem seus três lados correspondentes congruentes. Portanto se, em dois triângulos ABC e DEF temos AB ≡ DE, BC ≡ EF e CA ≡ FD, então ABC ≡ DEF.

1. DEMONSTRAÇÃO

Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que AB ≡ DE, BC ≡ EF e CA ≡ FD. Consideremos o semi-plano definido pela semi-reta SAB e oposto ao vértice C. Nesse semi-plano construa a partir do vértice AG ≡ DF tal que o ângulo GÂB ≡ D. Em seguida construa uma semi-reta GB, de modo que obtenhamos o triângulo AGB conforme ilustrado abaixo.

 [pic 1]

   

Figura 01

O ponto G é escolhido de modo que os pontos G e C fiquem em semi-planos distintos, os quais têm em comum a reta que passa pelos pontos A e B.

Podemos observar que AG ≡ DF ≡ AC e GB ≡ EF ≡ BC, então os triângulos AGC e BGC são isósceles com base comum CG. Dai, segue-se que AGˆC ≡ ACˆG e BGˆC ≡ BCˆG , portanto AGˆC + BGˆC ≡ ACˆG + BCˆG e esta igualdade equivale a dizer que Gˆ ≡ Cˆ, esse fato, juntamente com AG ≡ AC e GB ≡ BC nos garante, pelo axioma apresentado no tópico 2, que os triângulos ABG e ABC são congruentes. Como já mostramos que ABG e DEF são congruentes, segue-se que ABC e DEF também são congruentes (note que, nessa conclusão, usamos o fato de que “dois triângulos que são congruentes a um terceiro, também são congruentes entre si”). Isto conclui a demonstração do Teorema.

1. INTERPRETAÇÃO PRÁTICA

Recortando-se desenhos de triângulos em uma folha de papel (previamente dadas as três medidas de seus lados) se os mesmos se superpuserem, significa que as medidas dos três lados, amarram as medidas dos três ângulos internos. Só o triângulo tem essa característica, dentre todos os polígonos. Esta é possivelmente a propriedade mais interessante do triângulo, por isso o caso LLL também é conhecido como “Rigidez do Triângulo”. Há muitas aplicações desse fato em projetos de estruturas, particularmente em Engenharia Civil.