A MATEMATICA APLICADA

1. Introdução

A relevância do estudo de função não é limitada apenas aos interesses da matemática, mas também em outras ciências, como a física e a química. A princípio, para começar o estudo de função é preciso ter o conhecimento a respeito de equações, já que todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações. A equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Está é o que permite encontrar os resultados de uma equação. Assim, a igualdade é responsável por relacionar uma operação matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. Logo, ela é peça fundamental ao procurar os resultados de uma expressão algébrica.

Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:

1. Função do primeiro grau.
2. Função do segundo grau.

Nesse trabalho será abordado os princípios de cada função, gráficos e exemplos.

1. Desenvolvimento

Segundo (MAGARINUS, 2013), ela afirma que:

Dentro os conteúdos matemáticos estudados na educação básica, o estudo das funções é, sem dúvida, um dos mais importantes. Sua relevância pode ser justificada pelo fato de que o conceito de função estabelece relações com vários outros conceitos matemáticos e pode ser aplicado no estudo de fenômenos em diversas áreas do conhecimento.  (MAGARINUS, 2013, p. 11)

Ela ainda complementa:

No âmbito matemático, o estudo de funções relaciona-se diretamente com a álgebra, no que se refere às expressões algébricas presentes nas leis deformação de funções e na relação entre variáveis, e com a geometria analítica, que utiliza de um sistema de eixos coordenados para a representação de seus gráficos. (MAGARINUS, 2013, p. 11)

1. Função do Primeiro Grau

Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei será a seguinte: Y = AX + B, na qual A e B são números reais e A ≠ 0.  Considera-se X e Y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, ou seja, para cada valor dado a X corresponde um valor para Y. Assim, essa dependência como função, Y está em função de X.  

Denomina-se como Função Polinomial do 1º grau ou Função Afim, a qualquer função  [pic 1]  dada por uma lei da forma  [pic 2].  Exemplificando:

                    F(x) = 3x + 2    F(x) = 2x – 1     F(x) = x     Y= -3x

• Gráfico

A demonstração gráfica da função do 1º grau é sempre uma reta.  De acordo com a lei de formação Y=AX+B, é possível perceber que A e B são os coeficientes da função, o valor de A indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de B indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano.

[pic 3]

Portanto, à media que o valor de X mudar, os valores numéricos também são alterados. Assim, obtém-se a ordenação de diversos pares. Ou seja, na função crescente conforme os valores de X aumentam, os valores correspondentes em Y também aumentam. Enquanto na função decrescente ao passo que os valores de Y aumentam, os valores correspondentes de Y diminuem.

Exemplos: [pic 4][pic 5][pic 6]

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0). Exemplo:

y=x+1

x+1=0 » x=-1, portanto -1 é a raiz ou zero da função.

2.2 Função do Segundo Grau

Para que a função seja chamada função do segundo grau, é necessário que sua regra possa ser escrita da maneira:

f(x) = AX2 + BX + C   ou   y = AX2 + BX + C, de modo que A, B e C devem pertencer ao conjunto dos números reais e A ≠ 0. Assim, são exemplos de função do segundo grau:  

                                   f(x) = x2 + x – 6        f(x) = – x2

Pode ser definida, também, por Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática. Exemplos:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

• Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola, cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo Y ou até mesmo o próprio eixo, passando pelo vértice da parábola. O eixo de simetria intercepta o eixo x (eixo das abscissas) num ponto equidistante das raízes, além de interceptar a parábola em seu ponto de máximo ou em seu ponto de mínimo. Essa terá ponto de máximo ou de mínimo de acordo com a sua concavidade. Esta quando voltada para cima indica que a > 0, enquanto quando voltada para baixo a < 0.  

Interseção da parábola com o eixo X se dá quando essa intercepta o eixo das abscissas no ponto (x,0), isto é, sempre que Y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± b2- 4ac.2a

Sendo ∆ = b2 – 4ac, podemos ter:

Δ < 0 =  A parábola não intercepta o eixo Ox.

Δ = 0 =  A parábola é tangente ao eixo Ox.

Δ > 0 =  A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

[pic 7]

O vértice da parábola constitui um ponto significativo do gráfico, pois designa o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo na função. Conforme o valor do coeficiente A os pontos serão definidos, isto é, quando o valor desse for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo e quando o valor desse coeficiente for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo. Outra associação que pode ser feita é o ponto que a parábola corta o eixo Y, na qual o valor do coeficiente C na lei da função corresponde ao valor do eixo Y.