A Matriz Inversa É quando o resultado da multiplicação de duas
Por: matheushdcruz • 3/5/2015 • Trabalho acadêmico • 620 Palavras (3 Páginas) • 270 Visualizações
Inversão de matrizes
Matriz Inversa
É quando o resultado da multiplicação de duas matrizes resulte em uma matriz identidade, ou seja:
AB=BA=1
B é inversa de A e se representa por A-¹:
AA-¹ = A-¹A = I
Matriz Singular
Uma matriz quadrada A = (a i j) cujo determinante é nulo é uma matriz singular.
Exemplo
A matriz
A= | 1 | 4 | 7 |
2 | 5 | 8 | |
3 | 6 | 9 |
É singular porque
det A= | 1 | 4 | 7 | |
2 | 5 | 8 | = 0 | |
3 | 6 | 9 |
De fato, desenvolvendo o determinante pela 1ª linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
det A= | 1 | 4 | 7 | 5 8 | 2 8 | 2 5 | |||
2 | 5 | 8 | = + 1 x |
| - 4 x |
| + 7 x |
| |
3 | 6 | 9 | 6 9 | 3 9 | 3 6 |
det A = 1 x (5 x 9 - 8 x 6) - 4 x (2 x 9 - 8 x 3) + 7 x (2 x 6 - 5 x 3)
det A = 1 x (45 - 48) - 4 x (18 - 24) + 7 x (12 - 15)
det A = 1 x (-3) - 4 x (- 6) + 7 x (- 3)
det A = -3 +24-21
det A = 0
Obs.: A matriz singular não tem inversa.
Matriz Singular
Uma matriz quadrada A = (ai j ) cujo determinante é diferente de zero é um matriz não-singular ou regular.
Exemplo:
A matriz
A= | 2 | 3 | 1 |
5 | 2 | 2 | |
3 | 1 | 3 |
É uma matriz não-singular, porque o det A é diferente de zero.
De fato, desenvolvendo o determinante pela 1ª linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
det A= | 2 | 3 | 1 | 2 2 | 5 2 | 5 2 | |||
5 | 2 | 2 | = + 2 x |
| - 3 x |
| + 1 x |
| |
3 | 1 | 3 | 1 3 | 3 3 | 3 1 |
det A = 2 x (2 x 3 - 2 x 1) - 3 x (5 x 3 - 2 x 3) + 1 x (5 x 1 - 2 x 3)
det A = 2 x (6 - 2) - 3 x (15 - 6) + 1 x (5 - 6)
det A = 2 x 4 - 3 x 9 + 1 x (-1)
det A = 8 - 27 - 1
det A = -20
A matriz não-singular sempre tem inversa.
Propriedades da matriz inversa
- Se a matriz A admite inversa (det A ≠ 0), esta é única.
- Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-¹ também é. A matriz inversa de A-¹ é A.
- A matriz unidade I é não-singular (det I = I) e é a sua própria inversa: I = I-¹.
- Se a matriz A é não-singular, sua transposta A T também é. A matriz inversa de A T é ( A-¹ ) T.
- Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não-singular. A matriz inversa de AB é a matriz B-¹ A-¹.
Exemplo
- Verificar se a matriz C é inversa de A.
A= | 8 | 5 | e | C= | 2 | -5 | ||
3 | 2 | -3 | 8 | |||||
AC= | 8 | 5 | x | 2 | -5 | = | 1 | 0 |
2 | 2 | -3 | 8 | 0 | 1 |
A matriz C é inversa de A, isto é:
A-¹ = | 2 | -5 |
-3 | 8 |
- Verificar se a matriz F é inversa de B:
B = | 9 | 7 | e | F = | 4 | -7 |
5 | 4 | -5 | 9 |
BF= | 9 | 7 | x | 4 | -7 | = | 1 | 0 |
5 | 4 | -5 | 9 | 0 | 1 |
A matriz F é inversa de B, isto é:
B-¹ = | 4 | -7 |
-5 | 9 |
- Efetuar o produto das matrizes A e B.
AB= | 8 | 5 | x | 9 | 7 | = | 97 | 76 |
3 | 2 | 5 | 4 | 37 | 29 |
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