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A Matriz Inversa É quando o resultado da multiplicação de duas

Por:   •  3/5/2015  •  Trabalho acadêmico  •  620 Palavras (3 Páginas)  •  265 Visualizações

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Inversão de matrizes

Matriz Inversa

É quando o resultado da multiplicação de duas matrizes resulte em uma matriz identidade, ou seja:

AB=BA=1

B é inversa de A e se representa por A-¹:

AA-¹ = A-¹A = I

Matriz Singular

Uma matriz quadrada A = (a i j) cujo determinante é nulo é uma matriz singular.

Exemplo

A matriz

A=

1

4

7

2

5

8

3

6

9

É singular porque

det A=

1

4

7

2

5

8

=  0

3

6

9

De fato, desenvolvendo o determinante pela 1ª linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:

det A=

1

4

7

5      8

2      8

2      5

2

5

8

=  + 1 x

 

- 4 x

 

+ 7 x

 

3

6

9

6      9

3      9

3      6

    det A = 1 x (5 x 9 - 8 x 6) - 4 x (2 x 9 - 8 x 3) + 7 x (2 x 6 - 5 x 3)

   

    det A = 1 x (45 - 48) - 4 x (18 - 24) + 7 x (12 - 15)

   

    det A = 1 x (-3) - 4 x (- 6) + 7 x (- 3)

   

    det A = -3 +24-21

   

    det A = 0

Obs.: A matriz singular não tem inversa.

Matriz Singular

Uma matriz quadrada A = (ai j ) cujo determinante é diferente de zero é um matriz não-singular ou regular.

Exemplo:

A matriz

A=

2

3

1

5

2

2

3

1

3

É uma matriz não-singular, porque o det A é diferente de zero.

De fato, desenvolvendo o determinante pela 1ª linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:

det A=

2

3

1

2      2

5      2

5      2

5

2

2

=  + 2 x

 

- 3 x

 

+ 1 x

 

3

1

3

1      3

3      3

3      1

det A = 2 x (2 x 3 - 2 x 1) - 3 x (5 x 3 - 2 x 3) + 1 x (5 x 1 - 2 x 3)

det A = 2 x (6 - 2) - 3 x (15 - 6) + 1 x (5 - 6)

det A = 2 x 4 - 3 x 9 + 1 x (-1)

det A = 8 - 27 - 1

det A = -20

A matriz não-singular sempre tem inversa.

Propriedades da matriz inversa

  1. Se a matriz A admite inversa (det A ≠ 0), esta é única.
  2. Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-¹ também é. A matriz inversa de A-¹ é A.
  3. A matriz unidade I é não-singular (det I = I) e é a sua própria inversa: I = I-¹.
  4. Se a matriz A é não-singular, sua transposta A T também é. A matriz inversa de A T é ( A-¹ ) T.
  5. Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não-singular. A matriz inversa de AB é a matriz B-¹ A-¹.

Exemplo

  1. Verificar se a matriz C é inversa de A.

A=

8

5

         e

C=

2

-5

3

2

-3

8

AC=

8

5

x

2

-5

=

1

0

2

2

-3

8

0

1

A matriz C é inversa de A, isto é:

A-¹ =

2

-5

-3

8

  1. Verificar se a matriz F é inversa de B:

B =

9

7

         e

F =

4

-7

5

4

-5

9

BF=

9

7

x

4

-7

=

1

0

5

4

-5

9

0

1

A matriz F é inversa de B, isto é:

B-¹ =

4

-7

-5

9

  1. Efetuar o produto das matrizes A e B.

AB=

8

5

x

9

7

=

97

76

3

2

5

4

37

29

...

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