DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA PELO MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA PELO MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Agora que já sabemos escalonar matrizes, veremos os passos para a determinação da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.

Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja saber.

[pic 1]

O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito. Esta matriz é chamada Matriz Alongada:

 [pic 2]

O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz identidade no lado esquerdo. Notar que esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado. Como devemos “zerar” diversos elementos da matriz, o procedimento será análogo ao do escalonamento e só não é permitida, neste caso, a troca de linhas.

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.

Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda.Este elemento é chamado de pivô da primeira linha. Quando o pivô é 1, zerar os elementos da coluna em que está torna-se uma tarefa bem simples.

[pic 3]

Os elementos a12 e a13 tornaram-se nulos, mas é apenas uma coincidência. Em geral isso não ocorre logo na primeira operação.

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1.

3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2.

[pic 4]

Com as operações acima, os elementos a21 e a22 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz identidade.

Vamos passar, agora, a transformar a segunda coluna da matriz, ou seja, torná-la igual à segunda coluna da matriz identidade. O pivô será o elemento a22 que, felizmente, já é 1. Caso não fosse, deveríamos dividir a 2ª linha pelo valor necessário para torná-lo igual a 1. Obs.: os pivôs são sempre os elementos da diagonal principal.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3.

Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade:

[pic 5]

Agora, basta transformar a terceira coluna da matriz, ou seja, torná-la igual à terceira coluna da matriz identidade. O pivô será o elemento a33. Como esse elemento não é igual a 1, vamos multiplicar a 3ª linha toda por -1 para obter o pivô igual a 1.

3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1.

[pic 6]

Vamos, então, zerar os elementos da 3ª coluna que ficam acima do pivô.

1ª linha =  não será necessária nenhuma mudança.

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1.

Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo.

[pic 7]      E a matriz inversa é a parte da direita:    [pic 8]

EXERCÍCIOS

1. Determine, usando o método de Gauss-Jordan, as inversas das matrizes:

1. A= [pic 9]
2. B= [pic 10]

Gabarito:

1)

a)  A-1 = [pic 11]                                 b)     B-1 = [pic 12]

Profa.  Mariângela de Castro e Oliveira -  FaSaR