A PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA QUÍMICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

1. DOCENTE: ANTÔNIO CARLOS BRANDÃO

SOLUÇÃO - LISTA DE EXERCÍCIO 2

Discentes:

                    Deborah Almeida dos Anjos

                    Márcia Cristina de Sousa

CAMPINA GRANDE – PB

Agosto, 2015

                                                                                                                     

 Resolução das questões: 3.12, 3.27, 3.33, 3.45, 3.59, 3.69

                                          4.13, 4.29, 4.32, 4.50, 4.71, 4.77

3.12: Uma empresa de investimento oferece aos seus clientes títulos municipais que vencem após um número variável de anos. Dado que a função de distribuição cumulativa de T, o número de anos até o vencimento para um título aleatoriamente selecionado.

F(t)	0, t < 1
¼, 1<= t <3
½, 3<= t <5
¾, 5<= t <7
1, t>7

Encontre:

1. P(T=5)    

Para encontrar a probabilidade da função cumalativa de T quando o tempo for de 5 anos, é necessário reduzir a função F(5) pela função F(4), onde irá resultar na equação abaixo:                                                  

P(T = 5) = F(5) − F(4) = 3/4 − 1/2 = 1/4.

Logo, após 5 anos o cliente irá ter  em média ¼ dos títulos vencidos.

b) P(T>3)  

Para encontrar a probabilidade da função cumalativa de T quando o tempo for maior que 3 anos, é necessário reduzir 1 a função F(3) , onde irá resultar na equação abaixo:                                                  

P(T > 3) = 1 − F(3) = 1 − 1/2 = 1/2.

Após 3 anos, é certo que os títulos irá se reduzir a 1/2

c) P(1,4

No intervalo de tempo das função F(1.4) e F(6), pode-se resolver a função de probabilidade  e obter o numero de títulos vencidos.

P(1.4 < T < 6) = F(6) − F(1.4) = 3/4 − 1/4 = 1/2.

No tempo entre 1,4ano e 6 anos, o cliente pode ter ½ dos títulos vencidos.

3,27:O tempo até a falha na hora de uma importante peça de equipamento electrónico utilizado em um leitor de DVD fabricado tem a função de densidade

f(x)	1/2000 exp ( a:2000), x>=0
0,                          x< 0

A partir da distribuição da probabilidade de falha, faz-se a integral da função proposta, a qual irá relaiconar o tempo com a quantidade de peças com probabilidade de falhas.

a)Encontre F(x)

Para x >= 0, faz-se a integral proposta pela função  [pic 1]

Obtendo assim:       [pic 2]

Obtendo assim          [pic 3]

Logo para esta função encontrou-se para x<0 nenhuma falha; e para x>=0 tem-se a função dada:

F(x)=	0,          x<0
1-exp(-x/2000),    x>=0

b) Determine a probabilidade do componente (e do leitor de DVD) depois de mais de 1000 horas depois do componente precisar ser substituído

Utilizando a função encontrada na ‘a’para um valor acima de 1000 pode-se considerar a seguinte expressão:

P(X>1000) = 1-F(1000)

P(X>1000) = 1-[1-exp(-1000/2000)]

P(X>1000) = 0,6065

Logo, a probabilidade vai ser de 0,6065 = 60,65%  dele ser substituído após as 1000hrs.

c) Determine a probabilidade de o componente falhar depois de 2000horas

Utilizando a função encontrada na ‘a’para um valor acima de 2000 pode-se considerar a seguinte expressão:

P(X<2000) = F(2000)

P(X<2000) = [1-exp(-2000/2000)]

P(X<2000) = 0,6321

Logo, a probabilidade da peça falhar após as 2000hrs é de 0,6321 = 63,21%

3,33: Suponha que um tipo especial de pequena firma de processamento de dados é tão especializados que alguns têm dificuldade em fazer um lucro em seu primeiro ano de operação. O  que caracteriza a proporção Y é o lucro, é dado por

f(x)	Ky⁴(1-y)³, 0<= y <=1
0,      em outro lugar

A função dada irá ser utilizada para determinar a probabilidade do lucro da firma.

1. Qual é o valor de k que torna a função de densidade acima válida?

Usando integral por partes

[pic 4]

Resolvendo  utilizando y=0 e y=1 se obteve  k=280

1. Encontre a probabilidade que no máximo a firma tenha 50% de lucro no primeiro ano?

Para 0≤y≤1 ,  [pic 5]

P(Y≤0,5)=0,3633

Considerando 50% de lucro substituiu y=0,5 na função obtida, encontrou que a probabilidade do lucro é de 0,3633 ou 36,33%

1.  Encontre a probabilidade que pelo menos a firma tenha 80% de lucro no primeiro ano?

Utilizando a mesma função da ‘b’ e substituindo y por 0,8, obtem-se:

Para P(Y>0,8)=0,0563

3,45: Seja X o diâmetro de um cabo blindado elestrico e Y denota denotar o diâmetro do molde de cerâmica que faz com que o cabo. X e Y são dimensionadas de modo que elas variam entre 0 e 1. supor que X e Y têm a densidade conjunta