A QUÍMICA APLICADA

UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP

GRADUAÇÃO

Gabriela Thamires F. Silva RA: N170166

Tuma: EB6P07

RELATÓRIO DICOTOMIA, PONTO FIXO,

NEWTON- RAPHSON

Resolver a função

[pic 1]

Sumário

1 - Objetivo 2

2 - Introdução 2

3- Desenvolvimento 3

3.1- Método de Dicotomia4-5

3.2 – Método de Ponto Fixo 5-6

3.3- Método de Newton Raphson 6

4.0 – Resultados encontrados 7
5.0 - Conclusão 7

1. Objetivo

Determinar a raiz de f(x)= 3+senx (x) utilizando os 3 métodos;

• Dicotomia
• Ponto Fixo
• Newton Raphson.

1. INTRODUÇÃO

Existe diversos métodos para resolver equações lineares, o primeiro e mais antigo é o Dicotomia que também podemos chamar de Bissecção, o objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir a precisão requerida: (b-a)< ε, usando para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio. O Ponto fixo é um número α é um ponto fixo de uma dada função se Φ(α) = α com isso temos que um ponto fixo de uma função é um número no qual o valor da função não muda quando a função é aplicada. Considerando uma função Φ(x) = x2 – 2, por exemplo, temos que os pontos fixos são as intersecções de y = Φ(x) com y = x, ou seja, α1 = -1 e α2 = 2. O método de Newton Raphson é um eficiente método para se obter aproximação de raízes de funções reais, também é encarado como um caso particular do método ponto fixo, onde é possível obter uma convergência quadrática. Basta reparar que se f '(z) =/= 0: f(z) = 0 <=> z = z - f(z) / f '(z) é também a derivada da função.

 

3.0- Desenvolvimento

Gráfico da função nos métodos de dicotomia, Ponto fixo e de Newton Raphson.

3.1 - Método de Dicotomia:

Inserir na seguinte célula a forma abaixo:

B3 =3*A4-COS(A4)

Arrastar a fórmula para as demais células e temos nosso gráfico feito:

[pic 2]

 

Colocar em A e B os valores mais próximos do X na reta:

Inserir as seguintes fórmulas nas células:

D2:=ARREDONDAR.PARA.CIMA((LN(C2-B2)-LN(A2))/LN(2);0)
B5:=B2
C5:=C2
D5:=(B5+C5)/2
E5:=3+SEN(B5)
F5:=3+SEN(D5)
G5:=E5*F5
H6: =(C6-B6)

[pic 3]

Em seguida, arrastar as fórmulas para as demais células, e assim encontramos o valor aproximado da raiz.

[pic 4]

3.2 – Método de Ponto Fixo:

Inserir nas seguintes células as fórmulas abaixo;

C5:=3*B5+COS(B5)
B6: =COS(B5)/3

[pic 5]

Arrastar as fórmulas para as demais células, e em seguida achamos o valor aproximado da raiz.

[pic 6]

3.3 – Método de Newton Raphson:

Inserir nas seguintes células a forma abaixo;

C5:=3*B5-COS(B5)
B6: =B5-(3*B5-COS(B5))/(3+SEN(B5))

[pic 7]

Arrastar as fórmulas para as demais células, e em seguida achamos o valor aproximado da raiz.

[pic 8]

4.0 – Resultados Raiz:

Método Dicotomia = 0,316

Método de Ponto Fixo = 0,316