A Serie Taylor

[pic 2]

UNIVERSIDADE   TECNOLÓGICA  FEDERAL   DO   PARANÁ

GUSTAVO THEODORO LASKOSKI

FÓRMULAS DE TAYLOR E MACLAURIN

CÁLCULO  DIFERENCIAL E INTEGRAL  I

---

GUSTAVO THEODORO LASKOSKI

FÓRMULAS DE TAYLOR E MACLAURIN

CÁLCULO  DIFERENCIAL E INTEGRAL  I

Trabalho referente a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I como enriquecimento curricular no Curso Superior de Tecnologia em Eletrônica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Profª. Girley Gogola

---

SUMÁRIO

1  INTRODUÇÃO  .........................................................................................  04

2  FÓRMULA DE TAYLOR ............................................................................  06

2.1 Exemplo ...............................................................................................  07

3  FÓRMULA DE MACLAURIN .....................................................................  09

3.1  Exemplo ..............................................................................................  09

4  SÉRIES DE REFERÊNCIA .........................................................................  10

4.1  Função exponencial com base neperiana ......................................  11

4.2  Função seno ..................................................................................  11

4.3  Função co-seno .............................................................................   12

4.5  Outras séries de referência ........................................................... 13

5  CONCLUSÂO  ...........................................................................................  14

6 REFERÊNCIAS  BIBLIOGRÁFICAS ............................................................  15

---

1 INTRODUÇÃO

Nesse trabalho  serão  apresentadas  as  Fórmulas de Taylor e MacLaurin.  As fórmulas  de  Taylor  e  MacLaurin  possibilitam  o  cálculo aproximado de  algumas funções logarítimicas, exponenciais e trigonométricas a partir de uma função polinomial. Um  exemplo típico é comprovado pelo seguinte limite fundamental do cálculo:

lim  sen x =1

x ⇒ 0        x

Para  todo  x  com  valor  muito  próximo  de  zero,  a  função

f x =sen x    é   aproximadamente   calculada   pelo   polinômio  f x =x. Conforme o  aumento da ordem do polinômio, é possível fazer com que a função se aproxime cada vez mais do  valor correspondente a curva. Por exemplo, considere a função exponencial natural   f  x =e x    para  todo  x pertencente  aos reais. Para determinar os valores de  f  x  próximos de zero, basta determinar a reta tangente através de derivada da função no ponto, conforme representado na figura 1.

[pic 3]

FIGURA 1 - FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL E FUNÇÃO POLINOMIAL DE  1ª ORDEM Fonte:  SWOKOWSKI. Cálculo com geometria analítica, página 534.

---

Como   f ' (x ) =e x ,    o   coeficiente angular  da  reta  tangente  é

f ' (0 )= e0 = 1.     Portanto, a equação da reta tangente é:

y−1=1 ( x −0 )  =  x +1

Conforme representado  na figura 1, quanto  mais próximo do zero, menor é o  erro de aproximação entre o  polinômio e a função. A função  f (x )= e x        pode  ser  representada   por  um  polinômio de  ordem superior.  O   polinômio de  segunda  ordem  pode  ser  obtido através  da função  g (x )=a+bx+cx 2          logo,  g ' ( x )=b+2 cx    e  g ' ' ( x )=2 c.

       Para encontrar os coeficientes de   g (x ) ,   basta fazer com que

g (0 )= f (0 ) , g ' ( 0 )= f (0) e g'(0) = f'(0).    Portanto,  f (0 )= f ' (0 )= f ' ' (0 )=e0 =1, logo,    a=1 , b=1 e c=1 /2.      O polinômio de segundo ordem que representa o valor aproximado da função  f ( x )=e x        quando x é próximo de zero é:

                                                 [pic 4]

            Outro   método   para   determinar   os   polinômios  de   ordem superiores para a função  f (x )= e x        é através da integração da equação da reta tangente: