A Vibração Livre sem Amortecimento a 1 Grau De Liberdade

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Objetivo(s): O aluno deverá reconhecer o conceito de Vibração Livre sem Amortecimento a 1 Grau De Liberdade
Professor: (digite seu nome aqui)
Curso: Engenharia	Disciplina: Mecânica Vibratória

Modelo

A figura 1 mostra o modelo analítico de um sistema vibrante cujo movimento é denominado de vibração livre sem amortecimento a 1 grau de liberdade. Consiste em um corpo de massa M preso a uma mola de constante elástica K. O deslocamento do corpo com relação a posição de equilíbrio é representado pela coordenada x.

[pic 3]

Figura 1: Modelo de Vibração livre sem amortecimento a 1 grau de liberdade.

A equação diferencial do movimento pode ser obtida aplicando-se a segunda Lei de NEWTON do movimento, ( ), resultando em:

                                           equ(1)

onde

                                            equ(2)

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A equação 1 é uma equação diferencial linear, homogênea e de segunda ordem. A solução na forma fase amplitude pode ser escrita da seguinte forma:

                             equ(3)

onde

t:                tempo ..........................................................s

A:                amplitude do deslocamento........................m

:                fase inicial.................................................rad

ωΝ:        freqüência angular natural.....................rad/s

A e δ são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais.

Período

O intervalo de tempo gasto para o corpo realizar uma oscilação completa, isto é, repetir a mesma fase, é o período da oscilação. Na equação 3, substituindo t por t+2/N , encontra-se o mesmo x(t), logo, o intervalo de tempo 2/N é o período do movimento.

                                                    equ(4)

:   Período natural..........................................s

Freqüência

É  o número de ciclos ou oscilações completas que o corpo desenvolve por unidade de tempo.

                                           equ(5)

: freqüência natural.............ciclos/s =Hertz=Hz

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Fase inicial:

A fase inicial δ indica a posição do corpo no instante inicial t0 = 0, isto é, indica o ponto de partida. Para facilitar o entendimento da influência da fase inicial no movimento, a figura 2 mostra o comportamento no tempo da vibração livre sem amortecimento de um corpo. Foram consideradas as seguintes fases, 0, 45o , 90o , 135o e 180o , mesma freqüência e amplitude.

[pic 4][pic 5]

Figura 2: Vibração livre sem amortecimento com diferentes fases iniciais

Para facilitar o entendimento do papel da frequência, a figura 3 mostra o comportamento no tempo da vibração livre sem amortecimento, considerando uma amplitude de 0.1 mm e fase inicial nula para as seguintes freqüências: 1, 2, 4, 8 e 10 Hertz.    

[pic 6][pic 7]

Figura 3: Vibração livre sem amortecimento para diferentes valores de freqüências

Deflexão Estática

Um corpo de peso p=mg é sustentado por  molas, como indica a figura 4.  A deflexão elástica da mola necessária para equilibrar o peso do corpo, é chamada de deflexão estática (Δ). Como o corpo está equilibrado, é válida a seguinte relação:

                     

                                             equ(6)

[pic 8]

                (a)                                     (b)

Figura 4: (a)  suporte  da  carga  em vazio, (b) suporte da carga carregado

Desta forma a freqüência angular natural pode ser calculada da seguinte forma:

                                        equ(7)

g é o valor local da aceleração da gravidade.

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Na equação (7), utilizando g=9,80 m/s2, Δ em milímetros e substituindo   por , obtém-se:

                           equ(8)

onde

Δmm : deflexão estática em milímetros........mm

fN : freqüência natural em Hertz..................Hz

Para auxiliar a determinação da freqüência natural, uma vez conhecida a deflexão estática, foi plotado o gráfico di-log, figura 5, obtido através da equação (8), onde se entra com a deflexão estática em mm e obtém-se a freqüência natural em Hz. Para uma deflexão estática de 10 mm, a freqüência obtida é de aproximadamente 5 Hz, ou seja 300 ciclos/minuto.

[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Figura 5: Freqüência natural de um corpo rígido suspenso por molas em função da deflexão estática.

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Resposta no tempo do sistema em decorrência das condições iniciais

O interesse aqui é determinar o comportamento no tempo do deslocamento do corpo, figura 1, quando sujeito às seguintes condições:

                  e    

isto é, o corpo parte da posição inicial x0  com velocidade inicial v0,  tudo no instante inicial t0=0.

Para determinar as constantes arbitrárias, A e δ além da equação 3, necessita-se da sua derivada no tempo, isto é, da velocidade em função do tempo.