APLICAÇÕES DAS DERIVADAS EM FUNÇÕES DAS ÁREAS: ECONÔMICA E ADMINISTRATIVA

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS EM FUNÇÕES DAS ÁREAS:

ECONOMICA E ADMINISTRATIVA

Funções Marginais: estudaremos as funções custo marginal, a receita marginal, o lucro marginal e o custo médio marginal que envolvem as funções produção marginal e produção média marginal; custo marginal e custo médio marginal.

Calcular função marginal é aplicar a derivada da função em estudo no cálculo de uma quantidade x, ao invés de calcular a diferença entre essa quantidade x mais uma unidade e a quantidade x, na função primitiva.

Vejamos o exemplo:

Em uma indústria de eletroeletrônicos, na produção de q quantidade de um certo tipo de aparelho, o custo C em reais foi estudado e pode-se estabelecer que C = 0,1xq3 – 18xq2 + 1.500xq +10.000. Nessas condições vamos responder e relacionar as resposta das perguntas: Qual o custo quando são produzidos 50 aparelhos? Qual o custo na produção do 51º aparelho? Qual a taxa de variação do custo em relação à quantidade quando q = 50?

Solução:

. Para determinar o custo de 50 aparelhos, basta substituir q = 50 na função custo:

C(50) = 0,1x503 – 18x502 + 1500x50 + 10000 = 52.500,00

. Para determinar o custo na produção do 51º aparelho, basta calcular o custo para 51 aparelhos e fazer a diferença entre os custos de 51 e 50 aparelhos.

C(51) = 0,1x513 – 18x512 + 1500x51 + 10000 = 52.947,10

Diferença = 52.947,10 - 52.500,00 = 447,10

Então o custo para 51° aparelho é de R$ 447,10

Para determinar a taxa de variação do custo, em relação a q quantidade quando q = 50 é o mesmo que calcular a derivada primeira nesse valor C’(50).

C’(q) = 0,3xq2 – 36xq + 1500

C’(50) = 0,3x502 – 36x50 + 1500 = 450

Observe que há proximidade entre os valores da diferença na função e a taxa de variação.

Agora se dividirmos essa diferença dos custos pela diferença das quantidade (50 e 51), obtemos a taxa de variação média do custo em relação à quantidade no intervalo de 50 até 51, ou seja:

[pic 1]

Já no intervalo de 50 + h, teremos:

[pic 2]Se calcularmos em outras quantidades obteremos outros valores.

Então podemos considerar que o custo marginal, em um nível de produção dado, como a derivada da função custo em um ponto dado.

Simbologia para funções marginais

Cmg = Função Custo Marginal = C’(q).

Rmg = Função Receita Marginal = R’(q)  

Lembrete: R = pxq (Receita é preço de venda vezes a quantidade vendida).

Lmg = Função Lucro Marginal = L’(q)

L = R – C (Lucro é a diferença entre a receita e o custo).

Cmemg = Função Custo Médio Marginal = C’me(q).

Lembrando:a) [pic 3]                 

b) O custo médio mínimo ocorre em um ponto em que o custo marginal é igual ao custo médio: Cmg = Cme.

c) Para obter o custo médio mínimo usando sua derivada, basta fazer tal derivada valer zero, ou seja, fazemos o custo médio marginal igual a zero encontrando o ponto crítico que, nesse caso, é mínimo. De modo geral, à medida que a produção cresce, C’’me(q) > 0.

Pmg = Função Produção Marginal = P’(q)

Problemas:

1. Em uma empresa de confecção têxtil, o custo, em reais, para produzir q calças é dado por C(q) = 0,001xq3 – 0,3xq2 + 45xq + 5000.

1. Obtenha a função Custo Marginal
2. Obtenha os custos marginal aos níveis q = 50, q = 100 e q = 200, explicado seus significados.
3. Calcule o valor real para produzir a 201ª calça e compare o resultado com o obtido no item anterior.

2. Em uma fábrica de pneus, o preço de um tipo de pneu é dado por p = - 0,4xq + 400, com ( 0 ≤ q ≤ 1.000).

1. Obtenha a função Receita.
2. Obtenha a função Receita Marginal.
3. Obtenha a receita marginal aos níveis q = 400, q = 500 e q = 600, interpretando seus significados.
4. Esboce o gráfico da receita marginal e interprete seu crescimento ou decrescimento e intervalos em que a receita marginal é positica ou negativa, relacionando tais resultados.
5. Esboce o gráfico da receita.

3. Uma empresa de pneus tem a receita na venda de um tipo de pneu dada por R(q) = -0,4xq2 + 400xq, com( 0 ≤ q ≤ 1.000) conforme o problema anterior. Suponha que o custo para a produção dos pneus seja dado por C(q) = 80xq + 28.000.

a) obtenha a função Lucro.

b) obtenha a função Lucro Marginal.

c) obtenha o lucro marginal aos níveis q = 300 e q = 600, interpretando os resultados.

d) Obtenha a quantidade que dá lucro máximo a partir das derivadas do lucro.

4. Em uma fábrica de móveis, o custo ao produzir q unidades de um sofá é C(q) = 5xq2 + 200xq + 500.

a) Obtenha as funções Custo marginal Cmg, Custo Médio Cme e Custo Médio Marginal Cmemg.

b) Obtenha o custo médio mínimo.

c) Esboce o gráfico do custo médio.

d) Esboce sobreposto os gráficos do custo médio e do custo marginal.