APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

VERIFICAR A APLICAÇÕES DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS NO CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE.

Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando existe uma proporcionalidade entre eles, ou seja, quando os ângulos e lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo. Quando semelhantes, os ângulos dos triângulos serão iguais e os lados do primeiro triângulo serão proporcionais aos lados do segundo.

Esta demonstração é baseada no caso Ângulo Ângulo (AA) de semelhança de triângulos.

Demonstração: Seja ABC um triângulo retângulo em A, e considere os seguintes elementos do triângulo ABC conforme a figura abaixo:

[pic 1]

Logo pelo caso (AA) de semelhança de triângulos, os triângulos  ∆ ABC, ∆ ABH e ∆ AHC são semelhantes, ou seja: ∆ ABC ~ ∆ ABH ~ ∆ AHC.

 Então podemos aplicar neles uma propriedade de triângulos semelhantes que diz que: “lados opostos à ângulos congruentes são proporcionais”.

O triângulo ∆ ABC é semelhante ao ∆ ABH.

No ∆ ABC o lado oposto ao ângulo reto é o lado a;

No ∆ ABH o lado oposto ao ângulo reto é o lado c;

No ∆ ABC o lado oposto ao ângulo 90 - a é o lado c;

No ∆ ABH o lado oposto ao ângulo 90 - a é o lado m.

Logo pela propriedade de semelhança de triângulos temos

[pic 2]

O triângulo ∆ ABC é semelhante ao ∆ AHC.

No ∆ ABC o lado oposto ao ângulo reto é o lado a;

No ∆ AHC o lado oposto ao ângulo reto é o lado b;

No ∆ ABC o lado oposto ao ângulo a é o lado b;

No ∆ AHC o lado oposto ao ângulo a é o lado n.

Logo pela propriedade de semelhança de triângulos temos:

[pic 3]

Somando membro a membro (1) e (2) obtemos:

[pic 4]

Mas como m + n = a então temos b

[pic 5]

Logo está demonstrado o Teorema de Pitágoras.