APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E DE SEGUNDA ORDEM.

BIANCA MYLENA DA SILVA ARAGÃO

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E DE SEGUNDA ORDEM.

Trabalho apresentado à disciplina de Equações diferenciais Ordinárias da Universidade Estadual do Maranhão, como requisito para 2° avaliação.

Orientador: Profº Marcelo Oliveira

São Luís

2016

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

BIANCA MYLENA DA SILVA ARAGÃO

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E DE SEGUNDA ORDEM.

São Luís

2016

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO4

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS7

2.1 Definição7

3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM7

4 APLICAÇÕES E MODELOS CONHECIDOS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM12

   4.1 Aplicação 1: Decaimento radioativo – Aplicação em Física, Química, Engenharia Nuclear, 3.2 Arqueologia, Geologia, etc12

   4.2 Aplicação 2 Disseminação de Inovações Tecnológicas13

   4.3 Aplicação 3 A proporção de carbono 14(radioativo) em relação ao carbono 12 presente nos seres vivos é constante. Quando um organismo morre a absorção de carbono 14 cessa e a partir daí o carbono 14 se transforma em carbono 12 a uma taxa proporcional a quantidade atual16

5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM17

   5.1 EDO de 2º ordem com coeficientes constantes17

   5.2 Solução geral da EDO homogênea associada18

6 APLICAÇÕES E MODELOS CONHECIDOS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM 20

   6.1 Aplicação 1 - Movimento Harmônico Simples20

   6.2 Aplicação 2 - Movimento Vibratório Amortecido 23

   6.3 Aplicação 3- Movimento Vibratório forçado com amortecimento 25

7 CONCLUSÃO28

REFERÊNCIAS29

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1. INTRODUÇÃO

O desenvolvimento da teoria das equações diferenciais começou no final do século XVII quando G.W. Leibniz, I. Barrow, I. Newton, Jacob Bernoulli e seu irmão Johann Bernoulli determinaram soluções de algumas equações diferenciais de primeira e segunda ordem muito simples, associadas a problemas de mecânica e geometria. A formulação desses problemas aparece com recurso às equações diferenciais, com destaque para a equação de Newton para o movimento, que esteve na origem do próprio desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

Newton classificou as equações diferenciais de primeira ordem de acordo com as formas

= f(x, y); = f(x) e  = f(y):[pic 1][pic 2][pic 3]

Desenvolveu, também, um método para resolver a equação de primeira ordem = f(x, y) no caso em que f(x; y) é um polinômio em x e y usando séries infinitas.[pic 4]

A Leibniz devemos a notação matemática de derivada assim como o sinal de integral. Em 1691 desenvolve a teoria das equações diferenciais separáveis e em 1694 descobre como resolver equações lineares de primeira ordem.

O século XVIII foi uma época de intenso desenvolvimento da teoria das equações diferenciais. Esta se tornou o núcleo da análise matemática e de praticamente toda a ciência matemática. Foi desenvolvido um conjunto de truques e métodos sistemáticos para determinar soluções de equações diferenciais em termos de funções elementares, resultados que ainda hoje fazem parte da teoria qualitativa das equações diferenciais.

Jakob Bernoulli estudou e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. Johann Bernoulli foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar as suas soluções.

Mais nomes de grandes matemáticos da época aparecem associados às equações diferenciais: Clairaut, D'Alembert, Lagrange, Riccati, Laplace, Euler,

Gauss, Bessel, entre outros.

Entre 1734 e 1736, Euler identificou a condição para que equações diferenciais de primeira ordem sejam consideradas exatas e usou séries de potências para resolver equações diferenciais. Num artigo publicado em 1734, Euler desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para equações diferenciais de coeficientes constantes homogêneas. Por volta do ano de 1751 determina a resolução de equações não homogêneas. O uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos para a aproximação de soluções também se deve ao seu trabalho.

O estudo das propriedades da equação das ondas resulta do trabalho de alguns dos maiores matemáticos do século XV III como D'Alembert, Daniel Bernoulli (filho de Johann), Euler e Joseph-Louis Lagrange.

A equação das ondas, também chamada de equação das cordas vibrantes, apareceu em 1747 num artigo do filósofo e matemático D'Alembert. Euler e D'Alembert chegaram à conclusão que as soluções da equação deveriam ser a sobreposição da propagação de duas funções em sentidos opostos com velocidades iguais. Já D. Bernoulli, entre 1751 e 1753, apresentou as soluções por séries trigonométricas. Este usou os métodos de Euler para estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções.

O trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações.

Entre os anos de 1762 e 1765, Lagrange mostrou que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de grau n é uma combinação linear de n soluções independentes. A observação que uma equação diferencial de coeficientes constantes de ordem n é equivalente a um sistema de primeira ordem foi feita pela primeira vez por D'Alembert e a noção de conjunto fundamental deve-se a Lagrange. A redução de ordem de uma equação diferencial linear a partir de uma solução conhecida foi aplicada pela primeira vez, também, por D'Alembert.