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Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem

Por:   •  22/5/2017  •  Trabalho acadêmico  •  492 Palavras (2 Páginas)  •  443 Visualizações

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Calculo II

  1. Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem
  1. Vibrações Forçadas

        As equações com coeficientes constantes, embora simples, servem como

modelo para um grande número de sistemas importantes nas aplicações em físicas, engenharia e outras áreas.

        Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K, sob atrito e sujeito a uma força externa variável F(t), tem seu movimento descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

        A força que a mola exerce sobre o corpo é dada pela lei de Hooke, , enquanto o atrito exerce uma força proporcional a sua velocidade e em direção oposta a ela, . De acordo com a força segunda lei de Newton, , onde  é a soma de todas as forças atuando sobre o corpo, ou seja:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

        [pic 5]

        Se, além destas forças, adicionarmos uma força externa F(t) promovida, por exemplo, por um motor ou outro mecanismo qualquer de transferência de energia para o sistema corpo-mola, teremos:

                [pic 6]

Logo:

                [pic 7]

        Ou utilizando a notação compacta, :[pic 8]

        [pic 9]

        O caso mais simples de interesse é da mola livre, sem a atuação de forças externas ou atrito. Nesta situação temos:

               [pic 10]

                       [pic 11]

        Cuja solução pode ser obtida substituindo –se na equação diferencial para obter:[pic 12]

                       [pic 13]

                             [pic 14]

                              [pic 15]

A solução geral é:

        [pic 16]

Onde  é a frequência natural do sistema.[pic 17]

        As constantes de integração ficam determinadas por meio das condições iniciais, por exemplo, posição e velocidade inicial do corpo. Uma outra forma interessante pode ser obtida para esta solução se definirmos novas constantes C e  que  se  e  relacionam de acordo coma afigura abaixo:[pic 18][pic 19][pic 20]

Onde:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

...

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