As Equações Diferenciais de 1º Ordem
Por: Mariaanhaia • 17/12/2019 • Trabalho acadêmico • 1.195 Palavras (5 Páginas) • 177 Visualizações
Equações Diferenciais de 1º Ordem
dy/dt =F(t,y) (1)
Sendo F(x,y) uma função definida em aberto Ω do R2
Método dos Fatores Integrantes
Se a função na equação (1) depender linearmente da variável dependente y, então ela é dita uma equação linear de primeira ordem.
dy/dt = -ay+b (2)
em que a e bsão constantes dadas. Substituindo a e b por funções arbitrárias de t temos a equação linear de primeira ordem geral na forma padrão
dy/dt +p(t)y=g(t) (3)
em que p e g são funções dadas da variável independente t. Algumas vezes é mais conveniente escrever a equação na forma
P(t)dy/dt +Q(t)y=G(t) (4)
Exemplo 1
Encontre a solução geral da equação diferencial dy/dt -2y=4-t .
Sendo a = -2 e fator integrante é μ(t) = eat
e-2tdy/dt - 2e-2ty = 4e-2t -te-2t
d/dt(e-2ty)=4e-2t -te-2t
Integrando a última equação
e-2ty=-2e-2t +0,5te-2t+0,25e-2t+c
Logo, a solução geral é
y= -1,75+0,5 t+ce2t
Exemplo 2
Mostre que a equação dy/dx = x2/1-y2 é separável.
-x2+ (1-y2)dy/dx =0
d/dx(y-y3/3)=(1-y2)dy/dx
d/dx(-x3/3) + d/dx(y-y3/3)=0
d/dx(-x3/3 +y-y3/3)=0
-x3+3y-y3=c
A Transformada de Laplace
Seja f(t)uma função definida nos reais não negativos.
ℒ{f(t)}=∫ f(t)e-stdt, ‘ (1)
sendo os limites de integração 0e ∞. Quando a integral acima for convergente, ela será chamada de transformada de Laplace da função f(t).
Exemplo 1
Calcular a transformada de Laplace da função f(t)=1
O limite só existe se s>0, portanto
Exemplo 2
A transformada de Laplace da função f(t)=sen(wt).
Resolvendo essa equação obtemos
Figura 1- TABELA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace
Se F(s)=ℒ{f(t)} é a transformada de Laplace de f(t), então dizemos que
f(t)=ℒ-1{F(s)} é a transformada inversa de Laplace da função F(s). Essa definição só faz sentido se a transformação definida no conjunto de funções que possuem transformada de Laplace f(t) está relacionada a uma única transformada F(s).
Exemplo 1
A transformada inversa da função F(s)=5/5+s2.
Na linha 6 da tabela da Fig.1 podemos ver que o modelo das funções são igual.
ℒ-1{5/25+s2)=sen(5t)
Exemplo 2
A transformada inversa de laplace F(s)=1/s30.
ℒ-1{1/s30)=t29/29!
Transformada de Fourier
A transformada de Fourier de uma função f(x) é definida como:
e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como:
onde Wxé a freqüência angular, e i=⎷-1.
Para cada freqüência Wx , integramos a função f(x) sobre todos os valores da coordenada x. Se o valor da integral for grande para esta freqüência, então o sinal tem uma componente significativa nesta freqüência, isto é, uma parte significativa deste sinal é composto por esta freqüência.
Podemos também definir:
e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como :
onde V=2𝛑Wxé a frequência linear.
Exemplo 1
Calcular
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